2020-2021学年重庆市渝北区礼嘉中学九年级（下）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市渝北区礼嘉中学九年级（下）开学数学试卷，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
2．（4分）窗花是我国传统民间艺术，下列窗花中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第二象限内（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．不能确定
4．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八；人出七，不足四，每人出8钱，则多3钱，则差4钱．求共同购买该物品的人数和物品的价格，若用方程组的办法求解，物品的价格为y钱，则列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
6．（4分）下列运算中结果正确的是（ ）
A．﹣3x+5x＝﹣8xB．5y﹣3y＝2
C．3x2y﹣2x2y＝x2yD．3a+2b＝5ab
7．（4分）如图，∠C是⊙O的圆周角，∠C＝38°（ ）度．
A．52B．38C．60D．76
8．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（0，1）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
9．（4分）我校数学社团学生小明想测量学校对面斜坡BD上的信号树AB的高度，已知BD的坡度为1：，且BD的长度为65米，DE长为20米，他沿着与水平地面成30°夹角的大台阶行走20米到达平台F处，此时他仰望信号树的顶部A，测得仰角为50°（ ）（小明的身高忽略不计）
（参考数据：≈1.4，≈1.7，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.2）
A．45米B．30米C．35米D．40米
10．（4分）若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．（4分）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边的A′处，∠EFA＝60°，则四边形A′B′EF的周长是（ ）
A．1+3B．3+C．4+D．5+
12．（4分）如图，P为反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内图象上的一点，y轴的垂线交一次函数y＝﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB＝135°，则k的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题（4分×6＝24分）
13．（4分）（）﹣1﹣（1+）0＝ ．
14．（4分）在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测 ．
15．（4分）据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55 000 000人摆脱贫困 ．
16．（4分）如图，已知等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，若AB＝2 ．（结果保留π）
17．（4分）新冠疫情爆发以来，某工厂响应号召，积极向疫情比较严重的甲地区捐赠口罩、消毒液等医疗物资，分别以各自的速度匀速驶向目的地，出发6小时时A车接到工厂的电话（工厂、甲地、乙在同一直线上且乙在工厂与甲地之间），于是，A车掉头以原速前往乙处，A车加快速度迅速往甲地驶去，此时，A车掉头和拿文件的时间忽略不计，如图是两车之间的距离y（千米）（小时）之间的函数图象，则当A车到达甲地时 千米．
18．（4分）由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为x名（其中x＞5），平时每天都只工作8小时（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着“春节”临近，人工短缺，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加x个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍 个包裹．
三、解答题
19．（10分）计算：
（1）a（a﹣2b）﹣（a+b）2；
（2）÷（﹣x+2）．
20．（10分）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．为了让老师们更好地了解国家的宏观政策及具体措施，某学校领导组织全体教师利用“学习强国APP”对相关知识进行学习并组织定时测试（总分为100分），过程如下：
收集数据20名教师的测试成绩如下（单位：分）：
76，83，71，81，100，88，95，
100，86，89，86，100，100，92
整理数据：请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整．
分析数据：请将下列表格补充完整：
得出结论：
（1）用样本中的统计量估计全校教师的测试成绩等级为 ；
（2）若该校共有教师210人，请估计该校教师的测试成绩等级为D，E的总人数．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝，请按要求完成下列各小题．
（1）下表是y与x的几组对应值：
m＝ ，n＝ ，描出（﹣2，m），（3，n）两个点，并画出函数图象；
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在横线上打“√”；
①该函数是轴对称图形，对称轴是y轴； ．
②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，也没有最小值； ．
③当x≥﹣6时，y随x的增大而减小； ．
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象的近似解（保留1位小数，误差不超过0.2）．
23．（10分）若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数．如22，12321都是对称数，最小的对称数是11，因为数位是无穷的．
（1）若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除；
（2）设一个三位对称数为（a+b＜10），该对称数与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，求这个三位对称数．
24．（10分）元旦期间，家乐福超市搞促销活动，规定：购物不超过100元不给优惠，全部打9折；购物超过500元的，超过500元部分打8折．
（1）张老师第1次购得商品的总价（标价和）为300元，按活动规定实际付款多少元？
（2）张老师第2次购物，按活动规定实际付款490元，与没有促销相比
（3）若张老师将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？通过计算说出你的理由．
25．（10分）如图①，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，过点A、B、D的抛物线P叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，两线“互为纠缠线”．
（1）若l：y＝﹣2x+2，则纠缠抛物线P的函数解析式是 ．
（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是否“互为纠缠线”．
（3）如图②，若纠缠直线l：y＝﹣2x+4，纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E，点Q在P的对称轴上，当以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时
26．（8分）如图，△ABC为等边三角形，点O为线段AB的中点，点M在线段BC上，将线段OM绕点O顺时针旋转60°到ON，连接NC交OM于点G．
（1）如图1，当点M与点B重合时，直接写出线段MG和线段OG的数量关系；
（2）如图2，当OM⊥BC时，过点M作AB的平行线交AC于点H，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当AC＝4时
2020-2021学年重庆市渝北区礼嘉中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（4分×12＝48分）
1．（4分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
【分析】根据绝对值的性质求解可得．
【解答】解：﹣的绝对值是，
故选：B．
2．（4分）窗花是我国传统民间艺术，下列窗花中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．结合选项解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：B．
3．（4分）已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第二象限内（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．不能确定
【分析】根据各象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：由题意，得
|y|＝3，|x|＝2，
点M到x轴的距离是2，到y轴的距离是2，得
x＝﹣2，y＝7，
则点M的坐标是（﹣2，3），
故选：A．
4．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八；人出七，不足四，每人出8钱，则多3钱，则差4钱．求共同购买该物品的人数和物品的价格，若用方程组的办法求解，物品的价格为y钱，则列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“物品价格＝8×人数﹣多余钱数＝7×人数+缺少的钱数”可得方程组．
【解答】解：设有x个人，物品的价格为y钱，
故选：D．
5．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．一个角是直角的四边形是矩形
【分析】由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解．
【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的；
D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的；
故选：D．
6．（4分）下列运算中结果正确的是（ ）
A．﹣3x+5x＝﹣8xB．5y﹣3y＝2
C．3x2y﹣2x2y＝x2yD．3a+2b＝5ab
【分析】利用合并同类项的方法逐一计算，得出结果，进一步比较得出答案即可．
【解答】解：A、﹣3x+5x＝5x；
B、5y﹣3y＝2y；
C、3x2y﹣7x2y＝x2y，计算正确；
D、6a+2b不能合并．
故选：C．
7．（4分）如图，∠C是⊙O的圆周角，∠C＝38°（ ）度．
A．52B．38C．60D．76
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB的度数，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝76°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝（180°﹣76°）＝52°，
故选：A．
8．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（0，1）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
【分析】利用位似图形的性质得出连接各对应点，进而得出位似中心的位置．
【解答】解：如图所示：P点即为所求，
故P点坐标为：（﹣3，2）．
故选：C．
9．（4分）我校数学社团学生小明想测量学校对面斜坡BD上的信号树AB的高度，已知BD的坡度为1：，且BD的长度为65米，DE长为20米，他沿着与水平地面成30°夹角的大台阶行走20米到达平台F处，此时他仰望信号树的顶部A，测得仰角为50°（ ）（小明的身高忽略不计）
（参考数据：≈1.4，≈1.7，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.2）
A．45米B．30米C．35米D．40米
【分析】设BC＝12k，CD＝5k，由勾股定理得到BD＝13k＝65，求得BC＝60，CD＝25，延长GF交BC于M，则GM⊥AC，过F作FN⊥CH于N，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵BD的坡度为1：，且BD的长度为65米，
∴设BC＝12k，CD＝3k，
∴BD＝13k＝65，
∴k＝5，
∴BC＝60，CD＝25，
延长GF交BC于M，
则GM⊥AC，
过F作FN⊥CH于N，
∴FM＝CN，CM＝FN，
∵∠FEN＝30°，EF＝20，
∴FN＝10，EN＝10，
∴CM＝10，GM＝13+10，
在Rt△AMG中，∵∠AGM＝50°，
∴tan50°＝＝＝4.2，
∴AM＝90，
∴AB＝AM﹣BM＝90﹣（60﹣10）＝40米，
∴信号树AB的高度约为40米，
故选：D．
10．（4分）若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x＜﹣2确定出a的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件的a的个数．
【解答】解：解不等式组，得：，
由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+2≥﹣2，
解得：a≥﹣3；
分式方程去分母得：1﹣y﹣a＝﹣3（y+5），
解得：y＝，
由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得，
解得：a＜5且a≠2；
∴﹣3≤a＜7且a≠2，
∴a＝﹣3，﹣3，0，1，3，
∴符合条件的所有整数a的个数为6个；
故选：C．
11．（4分）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边的A′处，∠EFA＝60°，则四边形A′B′EF的周长是（ ）
A．1+3B．3+C．4+D．5+
【分析】先在直角三角形EFG中用勾股定理求出EF，FG，再判断出三角形A'EF是等边三角形，求出AF，从而得出BE＝B'E＝1，最后用四边形的周长公式即可．
【解答】解：如图，
过点E作EG⊥AD，
∴∠AGE＝∠FGE＝90°
∵矩形纸片ABCD，
∴∠A＝∠B＝∠AGE＝90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴BE＝AG，EG＝AB＝，
在Rt△EFG中，∠EFG＝60°，
∴FG＝6，EF＝2，
由折叠有，A'F＝AF，BE＝B'E，
∵BC∥AD，
∴∠A'EF＝∠AFE＝60°，
∴△A'EF是等边三角形，
∴A'F＝EF＝7，
∴AF＝A'F＝2，
∴BE＝AG＝AF﹣FG＝2﹣5＝1
∴B'E＝1
∴四边形A′B′EF的周长是A'B'+B'E+EF+A'F＝+1+2+7＝5+，
故选：D．
12．（4分）如图，P为反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内图象上的一点，y轴的垂线交一次函数y＝﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB＝135°，则k的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，易证△BOE∽△AOD，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求出k的值．
方法2、先求出OG，OC，再判断出△BOG∽△OAC，得出＝，再利用等腰直角三角形的性质得出BG，AC即可得出结论．
【解答】解：方法1、作BF⊥x轴，CQ⊥AP，
设P点坐标（n，），
∵直线AB函数式为y＝﹣x﹣4，PB⊥y轴，
∴C（7，﹣4），0），
∴OC＝OG，
∴∠OGC＝∠OCG＝45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA＝∠OGC＝45°，∠PAB＝∠OCG＝45°，
∴PA＝PB，
∵P点坐标（n，），
∴OD＝CQ＝n，
∴AD＝AQ+DQ＝n+4；
∵当x＝0时，y＝﹣x﹣4＝﹣4，
∴OC＝DQ＝4，GE＝OE＝；
同理可证：BG＝BF＝，
∴BE＝BG+EG＝+；
∵∠AOB＝135°，
∴∠OBE+∠OAE＝45°，
∵∠DAO+∠OAE＝45°，
∴∠DAO＝∠OBE，
∵在△BOE和△AOD中，
，
∴△BOE∽△AOD；
∴＝，即＝；
整理得：nk+3n2＝8n+3n2，化简得：k＝8；
故选D．
方法6、如图2，
过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，
∵直线AB函数式为y＝﹣x﹣4，PB⊥y轴，
∴C（2，﹣4），0），
∴OC＝OG，
∴∠OGC＝∠OCG＝45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA＝∠OGC＝45°，∠PAB＝∠OCG＝45°，
∴PA＝PB，
∵P点坐标（n，），
∴A（n，﹣n﹣3），）
∵当x＝0时，y＝﹣x﹣4＝﹣4，
∴OC＝4，
当y＝0时，x＝﹣3．
∴OG＝4，
∵∠AOB＝135°，
∴∠BOG+∠AOC＝45°，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x﹣4，
∴∠AGO＝∠OCG＝45°，
∴∠BGO＝∠OCA，∠BOG+∠OBG＝45°，
∴∠OBG＝∠AOC，
∴△BOG∽△OAC，
∴＝，
∴＝，
在等腰Rt△BFG中，BG＝，
在等腰Rt△ACD中，AC＝n，
∴，
∴k＝8．
故选：D．
二、填空题（4分×6＝24分）
13．（4分）（）﹣1﹣（1+）0＝ 1 ．
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂计算可得．
【解答】解：原式＝2﹣1＝2，
故答案为：1．
14．（4分）在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的都是合格品的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到的都是合格品的有6种情况，
∴抽到的都是合格品的概率是：＝．
故答案为：．
15．（4分）据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55 000 000人摆脱贫困 5.5×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将将55 000 7．
故答案为：5.2×107．
16．（4分）如图，已知等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，若AB＝2 π+ ．（结果保留π）
【分析】根据等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，于是得到BD＝BE，CE＝CF，∠B＝∠C＝60°，BC＝AB＝2，推出△BDE和△CEF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BED＝∠CEF＝60°，BE＝CE＝，然后由扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，
∴BD＝BE，CE＝CF，BC＝AB＝2，
∴△BDE和△CEF是等边三角形，
∴∠BED＝∠CEF＝60°，BE＝CE＝，
∴∠DEF＝60°，DE＝BE＝，
∴∠DOF＝120°，⊙O的半径为1，
∴阴影部分的面积＝S圆+2S△DOE＝×14π+2×××＝π+，
故答案为π+．
17．（4分）新冠疫情爆发以来，某工厂响应号召，积极向疫情比较严重的甲地区捐赠口罩、消毒液等医疗物资，分别以各自的速度匀速驶向目的地，出发6小时时A车接到工厂的电话（工厂、甲地、乙在同一直线上且乙在工厂与甲地之间），于是，A车掉头以原速前往乙处，A车加快速度迅速往甲地驶去，此时，A车掉头和拿文件的时间忽略不计，如图是两车之间的距离y（千米）（小时）之间的函数图象，则当A车到达甲地时 96 千米．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出A车加速前，A车和B车的速度之和和速度之差，从而可以计算出A车加速前，A车和B车的速度，然后即可得到A车加速后的速度，从而可以得到A车从开始到到达甲地用的时间，然后即可计算出当A车到达甲地时，B车离工厂的距离．
【解答】解：由图象可得，
A车加速前，A车和B车的速度之和为：（400+80）÷6＝80（千米/小时），
A车加速前，A车和B车的速度之差为：（80﹣64）÷（7﹣7）＝16（千米/小时），
设A车加速前，A车的速度为a千米/小时，
，
解得，
即A车加速前，A车的速度为48千米/小时，
∴A车加速后的速度为：32+32＝64（千米/小时），
A车到达甲地用的时间为：7+（400﹣5×48）÷64＝3.5（小时），
则当A车到达甲地时，B车离工厂还有：400﹣32×9.2＝96（千米），
故答案为：96．
18．（4分）由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为x名（其中x＞5），平时每天都只工作8小时（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着“春节”临近，人工短缺，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加x个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍 864 个包裹．
【分析】设工人每小时加工y个包裹，则改造前机器人每小时加工2y个包裹，改造后机器人每小时加工（2y+x）个包裹，依题意，得：12（x+2）（2y+x）＝6×8xy，推出x2+4y﹣2xy+2x＝0，可得y＝＝＝+＝+＝+3+，根据x是大于5的整数，y是整数，推出x＝6，y＝6，有由此即可解决问题．
【解答】解：设工人每小时加工y个包裹，则改造前机器人每小时加工2y个包裹，
依题意，得：12（x+2）（6y+x）＝6×8xy，
∴x7+4y﹣2xy+8x＝0，
∴y＝＝＝+＝+＝+3+，
∵x是大于5的整数，y是整数，
∴x＝6，y＝6，
∴该仓库平时一天加工6×6×2+6×12×8＝864（个），
故答案为864．
三、解答题
19．（10分）计算：
（1）a（a﹣2b）﹣（a+b）2；
（2）÷（﹣x+2）．
【分析】（1）先根据单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算，再求出答案即可；
（2）先算括号内的减法和加法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣2ab﹣a8﹣2ab﹣b2
＝﹣4ab﹣b2；
（2）原式＝÷
＝÷
＝•
＝﹣．
20．（10分）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．为了让老师们更好地了解国家的宏观政策及具体措施，某学校领导组织全体教师利用“学习强国APP”对相关知识进行学习并组织定时测试（总分为100分），过程如下：
收集数据20名教师的测试成绩如下（单位：分）：
76，83，71，81，100，88，95，
100，86，89，86，100，100，92
整理数据：请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整．
分析数据：请将下列表格补充完整：
得出结论：
（1）用样本中的统计量估计全校教师的测试成绩等级为 E ；
（2）若该校共有教师210人，请估计该校教师的测试成绩等级为D，E的总人数．
【分析】将题干所给数据从小到大重新排列，根据中位数的定义可补全表格；
（1）从样本中20个数据有11个数据落在E组求解即可；
（2）用总人数乘以样本中D、E组人数所占比例．
【解答】解：将数据重新排列为71，76，82，86，88，90，92，95，100，100，100，
所以B等级人数为0，C等级人数为2，E等级人数为11，
这组数据的中位数为＝90，
故答案为：0、2、5、11；
（1）用样本中的统计量估计全校教师的测试成绩等级为E，
故答案为：E；
（2）估计该校教师的测试成绩等级为D，E的总人数为210×．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
【分析】（1）先由平行线的性质得到∠DAM＝∠AMB，由角平分线的定义得到∠BAM＝∠DAM，进而得到∠AMB＝∠BAM，再根据三角形内角和定理即可求出AMB的度数；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，由角平分线定义得出∠BAE＝∠DCF，证得△ABE≌△CDF，即可证得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAM＝∠DAM，
∴∠AMB＝∠BAM，
∵∠ABC＝70°，∠AMB+∠BAM+∠ABC＝180°，
∴∠AMB＝（180°﹣∠ABC）＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝，请按要求完成下列各小题．
（1）下表是y与x的几组对应值：
m＝ ﹣1 ，n＝ 1 ，描出（﹣2，m），（3，n）两个点，并画出函数图象；
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在横线上打“√”；
①该函数是轴对称图形，对称轴是y轴； × ．
②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，也没有最小值； √ ．
③当x≥﹣6时，y随x的增大而减小； × ．
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象的近似解（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【分析】（1）根据函数的图形和性质，将（﹣2，m）和（3，n）代入y＝，求m，n的值，在坐标系中描点可得出函数图象；
（2）根据所画函数图像与函数自变量的取值范围，可分别进行判断；
（3）根据题意，可得出方程的近似解可理解为直线y＝和y＝函数图像交点横坐标的近似值．
【解答】解：（1）∵y＝，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣5，
当x＝3时，y＝1，
故答案为：﹣5，1，
如下图，即为描点（﹣2，（5；
（2）①有图象可知，该图象不是轴对称图形；
②由图象，该函数在自变量的取值范围内，故此答案正确，
③当﹣6≤x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：×，√，×；
（3）方程＝x+x+的函数图象的交点的横坐标近似值，
从图象知，方程的近似解为：x≈1.3或x≈﹣5.5．
23．（10分）若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数．如22，12321都是对称数，最小的对称数是11，因为数位是无穷的．
（1）若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除；
（2）设一个三位对称数为（a+b＜10），该对称数与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，求这个三位对称数．
【分析】（1）设四位对称数分解为前两位数所表示的数为：10a+b，和后两位数所表示的数为10b+a，用a、b的代数式表示这两个数的差即可解决问题．
（2）设这个三位对称数为：100a+10b+a，由题意100a+10b+a﹣（2a+b）＝99a+9b＝11（9a+），根据整除的定义，即可解决问题．
【解答】解：（1）设四位对称数分解为前两位数所表示的数为：10a+b，
和后两位数所表示的数为10b+a，
由题意（10a+b）﹣（10b+a）＝9a﹣9b＝6（a﹣b），
∵a、b为整数，
∴（a﹣b）是整数，
∴9（a﹣b）一定能被9整除，
∴这两个数的差一定能被6整除．
（2）设这个三位对称数为：100a+10b+a，
由题意100a+10b+a﹣（2a+b）＝99a+9b＝11（8a+），
∵所得的结果能被11整除，
∴9a+为整数，
∵a、b为整数，
∴为整数，
∴b＝0，a有7种可能，
∴满足条件的三位对称数共有9个，分别是101，303，505，707，909；
只有202满足与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等．
故这个三位对称数是202．
24．（10分）元旦期间，家乐福超市搞促销活动，规定：购物不超过100元不给优惠，全部打9折；购物超过500元的，超过500元部分打8折．
（1）张老师第1次购得商品的总价（标价和）为300元，按活动规定实际付款多少元？
（2）张老师第2次购物，按活动规定实际付款490元，与没有促销相比
（3）若张老师将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？通过计算说出你的理由．
【分析】（1）根据题意，可以计算出按活动规定实际付款多少元；
（2）设张老师消费x元，然后根据题意，即可列出相应的方程，从而可以求得张老师的消费情况，然后再减去实际付款，即可得到可节约多少钱；
（3）根据题意，可以计算出合为依次购物的实际付款情况，然后再与分两次购物的付款相比，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
300×0.9＝270（元），
答：按活动规定实际付款270元；
（2）设张老师第二次购物消费为x元，
500×5.9+（x﹣500）×0.3＝490，
解得x＝550，
∴第二次购物节约了：550﹣490＝60（元），
答：与没有促销相比，第2次购物节约了60元；
（3）张老师将这两次购得的商品合为一次购买，更省钱；
理由：张老师将这两次购得的商品合为一次购买实际付款为：500×0.8+（300+550﹣500）×0.8＝730（元），
张老师分两次购买实际付款为：270+490＝760（元），
∵730＜760，
∴张老师将这两次购得的商品合为一次购买，更省钱．
25．（10分）如图①，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，过点A、B、D的抛物线P叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，两线“互为纠缠线”．
（1）若l：y＝﹣2x+2，则纠缠抛物线P的函数解析式是 y＝﹣x2﹣x+2 ．
（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是否“互为纠缠线”．
（3）如图②，若纠缠直线l：y＝﹣2x+4，纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E，点Q在P的对称轴上，当以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时
【分析】（1）根据纠缠线的定义，若l：y＝﹣2x+2，则点A，B，C，D坐标分别为（1，0），（0，2），（0，1），（﹣2，0），则可以设抛物线为y＝a（x+2）（x﹣1），代入点B坐标即可求解；
（2）由题意可得点A，B，C，D坐标分别为（k，0），（0，2k），（0，k），（﹣2k，0），则抛物线的函数解析式为y＝a（x+2k）（x﹣k），代入点B坐标即可求解；
（3）根据题意得到点A，B，C，D坐标分别为（2，0），（0，4），（0，2），（﹣4，0），同理可得抛物线的函数解析式，以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，由题意得：|xQ﹣xF|＝1，即：m+1＝±1，即可求解．
【解答】解：（1）若l：y＝﹣2x+2，
当y＝6时，x＝1，y＝2，
∴点A、B、C、D的坐标分别为：（6、（0、（0、（﹣8，
设纠缠抛物线P的函数解析式为：y＝a（x+2）（x﹣1），
将点B的坐标代入上式得：3＝a（0+2）（8﹣1），
解得：a＝﹣1，
∴纠缠抛物线P的函数解析式为：y＝﹣x3﹣x+2，
故答案为：y＝﹣x2﹣x+4；
（2）同（1）得：点A、B、C、D的坐标分别为：（k、（0、（0、（﹣6k，
设纠缠抛物线的函数解析式为：y＝a（x+2k）（x﹣k），
将点B的坐标代入上式得：2k＝﹣5ak2，
解得：a＝﹣，
∴纠缠抛物线的函数解析式为：y＝﹣（x+2k）（x﹣k）＝﹣，
∴y＝﹣2x+3k与是“互为纠缠线”；
（3）同（1）得：点A、B、C、D的坐标分别为：（2、（0、（4、（﹣4，
同理可得：纠缠抛物线的函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+4，
则抛物线的对称轴为：x＝﹣8，
设点F（m，﹣2m+4），n），
将点C、D的坐标代入一次函数表达式并求得：
直线CD的表达式为：y＝x+2，
∵点E的横坐标为﹣8，
∴点E的纵坐标为，
∴点C、E横坐标差为7，
以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，
由题意得：|xQ﹣xF|＝5，即：m+1＝±1，
解得：m＝4或m＝﹣2，
当m＝0时，点F（4，则点Q（﹣1，）；
同理当m＝﹣2时，点Q（﹣1，）；
综上，点Q坐标为：Q（﹣1，，）．
26．（8分）如图，△ABC为等边三角形，点O为线段AB的中点，点M在线段BC上，将线段OM绕点O顺时针旋转60°到ON，连接NC交OM于点G．
（1）如图1，当点M与点B重合时，直接写出线段MG和线段OG的数量关系；
（2）如图2，当OM⊥BC时，过点M作AB的平行线交AC于点H，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当AC＝4时
【分析】（1）证△MNO是等边三角形，得∠MON＝60°，ON＝OM＝OB＝BC，再证ON∥BC，则△MCG∽△ONG，得＝＝2，即可得出结论；
（2）证△CMH是等边三角形，得CH＝CM，则AH＝BM，再证MN∥OC，则△OGC∽△MGN，求出OG＝2GM，因此OM＝3MG，然后由锐角三角函数定义得BM＝MG，即可得出结论；
（3）过点N作NE⊥BC于E，求出BM＝OB＝，OM＝3，则MN＝OM＝3，MC＝3，再由含30°角的直角三角形的性质得NE＝MN＝，ME＝，则EB＝ME﹣BM＝，因此EC＝BC+EB＝，然后由勾股定理得CN＝，最后由面积法求解即可．
【解答】解：（1）线段MG和线段OG的数量关系为：MG＝2OG，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，点O为线段AB的中点，
∴∠ABC＝60°，AB＝BCAB＝，
∵线段OM绕点O顺时针旋转60°到ON，
∴△MNO是等边三角形，
∴∠MON＝60°，ON＝OM＝OB＝，
∴∠ABC＝∠MON，
∴ON∥BC，
∴△MCG∽△ONG，
∴＝＝＝2，
∴MG＝2OG；
（2）线段AH与MG的数量关系为：AH＝MG
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠A＝∠ABC＝60°，
∵MH∥AB，
∴∠CHM＝∠A＝60°，∠CMH＝∠ABC＝60°，
∴∠CHM＝∠CMH＝∠ACB＝60°，
∴△CMH是等边三角形，
∴CH＝CM，
∴AC﹣CH＝BC﹣CM，
即：AH＝BM，
∵△ABC为等边三角形，点O为线段AB的中点，
∴∠BOC＝90°，∠OCM＝，
∴OC＝8OM，∠COM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝90°﹣60°＝30°，
∵△MNO为等边三角形，
∴MN＝OM，∠OMN＝60°，
∴∠COM＝∠OMN，
∴MN∥OC，
∴△OGC∽△MGN，
∴＝＝＝2，
∴OG＝2GM，
∴OM＝2MG，
在Rt△OBM中，tan∠BOM＝，
∴tan30°＝，
∴BM＝tan30°×OM＝OM＝MG，
∴AH＝GM；
（3）过点N作NE⊥BC于E，如图3所示：
∵△ABC为等边三角形，点O为线段AB的中点，
∴BC＝5，OB＝2，
在Rt△OBM中，∠ABC＝60°，
∴BM＝OB＝OB＝＝5，
∴MN＝OM＝3，MC＝4﹣，
∵∠OMN＝60°，∠OMB＝90°，
∴∠NME＝90°﹣60°＝30°，
∴NE＝MN＝MN＝，
∴EB＝ME﹣BM＝﹣＝，
∴EC＝BC+EB＝2+＝，
在Rt△CEN中，由勾股定理得：CN＝＝＝，
设点M到直线NC的距离为h，
∵S△MNC＝MC•NE＝，
∴×3×＝×，
解得：h＝，
∴点M到直线NC的距离为．
成绩（个）
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
等级
A
B
C
D
E
人数
0




平均数
中位数
满分率
91.9

25%
x
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
5
6
y
0
﹣
﹣
﹣
m
﹣
﹣
n
成绩（个）
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
等级
A
B
C
D
E
人数
0
0
2
7
11
平均数
中位数
满分率
91.9
90
25%
x
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
5
6
y
0
﹣
﹣
﹣
m
﹣
﹣
n