2020-2021学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（下）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（下）开学数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主题图案中，也不是轴对称图形的是（ ）
A．北京林业大学B．北京体育大学
C．北京大学D．中国人民大学
2．（4分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．（4分）在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右（ ）
A．2B．12C．18D．24
4．（4分）如图，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上，AB＝4．若∠BCD＝120°，则（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A．B．12πC．2πD．24π
6．（4分）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，若OA＝20，AA'＝30（ ）
A．2：3B．2：5C．4：9D．4：25
7．（4分）已知反比例函数y＝的图象上有三点A（﹣2，y1），B（，y2），C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y1
8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5，当x≤2时，函数值随x增大而减小1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤3B．﹣1≤a≤2C．2≤a≤3D．2≤a≤4
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分
9．（4分）二次函数y＝﹣（x+5）2﹣3，图象的顶点坐标是 ．
10．（4分）已知锐角α满足tanα＝，则锐角α＝ ．
11．（4分）已知扇形的弧长等于cm，半径为6cm cm2．
12．（4分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，如图，⊙O是正十二边形的外接圆，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，那么⊙O的面积约是 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，中线AD、CE相交于点F，则AF的长为 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边AO与x轴负半轴的夹角为45°，AO＝，则过点B的反比例函数的解析式为 ．
三、解答题（共5小题，满分44分）
15．（6分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2，请在已有网格中画出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标 ．
16．（8分）若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等），每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数
（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
17．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，求BD的长．
18．（10分）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，大正方形的面积为S．
（1）求S关于m的函数关系式；
（2）若小正方形边长不大于3，求S的取值范围，并画出S关于m函数的大致图象．
19．（12分）已知AB是⊙O的直径，C、E分别是⊙O上的点，连接AE、AC、CE、BC
（1）如图1，点F为弧BC上一点，连接AF，H，若弧CF＝弧BE，求证：CE⊥AF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设AB交CE于点G，当∠ADC＝∠BDG时，若OH＝
2020-2021学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．（4分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主题图案中，也不是轴对称图形的是（ ）
A．北京林业大学B．北京体育大学
C．北京大学D．中国人民大学
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、既不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．（4分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程4﹣3k﹣6＝7成立，解得k＝1．
故选：A．
3．（4分）在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右（ ）
A．2B．12C．18D．24
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得＝5.25，
解得：a＝18，
经检验：a＝18是分式方程的解，
故选：C．
4．（4分）如图，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上，AB＝4．若∠BCD＝120°，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据圆内接四边形的性质和弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵OD＝OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
∴的长＝＝π，
故选：B．
5．（4分）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A．B．12πC．2πD．24π
【分析】直接利用三视图判断出几何体，再利用圆锥侧面积公式求出答案．
【解答】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，
底面直径为4，母线长为6，
故这个几何体的侧面积为：×4π×3＝12π．
故选：B．
6．（4分）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，若OA＝20，AA'＝30（ ）
A．2：3B．2：5C．4：9D．4：25
【分析】三角尺与影子是位似图形，位似中心是O，位似比等于位似中心到对应点的距离之比，它们的周长比等于位似比，即可得答案．
【解答】解：∵三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子，
∴三角尺与影子是位似图形，位似中心是O，
∵OA＝20，AA'＝30，
∴位似比为20：（20+30）＝2：5，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是7：5．
故选：B．
7．（4分）已知反比例函数y＝的图象上有三点A（﹣2，y1），B（，y2），C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y1
【分析】分别计算出自变量为﹣2、、4对应的函数值，从而得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣（k2+2）；
当x＝时，y6＝2（k2+2）；
当x＝4时，y3＝（k2+2），
而k2+1＞5，
所以y1＜y3＜y5．
故选：D．
8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5，当x≤2时，函数值随x增大而减小1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤3B．﹣1≤a≤2C．2≤a≤3D．2≤a≤4
【分析】对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，只需最大值与最小值的差小于等于4即可，进而求解．
【解答】解：函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，故a≥2；
∵7≤x1≤a+1和4≤x2≤a+1，
∴x＝a时，函数的最小值＝2﹣a2，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+4中产生，
则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，
∵a≥8，
∴a﹣1≥1，而a+5﹣a＝1，
∴1距离a 更远，
∴x＝7时，函数取得最大值为：6﹣2a，
∵对任意的7≤x1≤a+1和8≤x2≤a+1，x5，x2相应的函数值y1，y5总满足|y1﹣y2|≤8，
只需最大值与最小值的差小于等于4即可，
∴6﹣5a﹣（5﹣a2）≤7，
a2﹣2a﹣3≤0，
解得﹣1≤a≤2，而a≥2，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分
9．（4分）二次函数y＝﹣（x+5）2﹣3，图象的顶点坐标是 （﹣5，﹣3） ．
【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣（x+5）2﹣3，
∴二次函数y＝﹣（x+5）2﹣2的图象的顶点坐标是（﹣5，﹣3）
故答案为：（﹣6，﹣3）．
10．（4分）已知锐角α满足tanα＝，则锐角α＝ 60° ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：∵tanα＝，
∴锐角α＝60°．
故答案为：60°．
11．（4分）已知扇形的弧长等于cm，半径为6cm 10π cm2．
【分析】直接根据扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵扇形的弧长为cm，
∴扇形的面积＝lR＝×2．
故答案为：10π．
12．（4分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，如图，⊙O是正十二边形的外接圆，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，那么⊙O的面积约是 3 ．
【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性质得出AD＝OA＝，求出△AOB的面积＝OB×AD＝，即可得出答案．
【解答】解：设AB为正十二边形的边，连接OB，如图所示：
∴∠AOB＝＝30°，
∵AD⊥OB，
∴AD＝OA＝，
∴△AOB的面积＝OB×AD＝＝
∴正十二边形的面积＝12×＝7，
∴⊙O的面积≈正十二边形的面积＝3，
故答案为：3．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，中线AD、CE相交于点F，则AF的长为 2 ．
【分析】利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则利用勾股定理可计算出AD＝3，然后根据三角形重心的性质计算AF的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD为中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝，
在Rt△ABD中，AD＝，
∵点F为中线AD、CE的交点，
∴F点为△ABC的重心，
∴AF＝AD＝．
故答案为2．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边AO与x轴负半轴的夹角为45°，AO＝，则过点B的反比例函数的解析式为 y＝ ．
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过B作BD⊥x轴于D，AC⊥BD于C，先求得A的坐标，然后通过证得△BOD∽△ABC，求得B的坐标，进而即可求得过点B的反比例函数的解析式．
【解答】解：过A作AE⊥x轴于E，过B作BD⊥x轴于D，
∵∠AOE＝45°，AO＝，
∴AE＝OE＝OA＝1
在Rt△AOB中，∠A＝30°，
∴tan30°＝＝，
设B（a，b），BD＝b，
∴AC＝1+a，BC＝1﹣b，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠OBD＝90°，
∵∠OBD+∠BOD＝90°，
∴∠ABC＝∠BOD，
∵∠BDO＝∠ACB＝90°，
∴△BOD∽△ABC，
∴，即＝，
解得，
∴B（，），
设过点B的反比例函数的解析式为y＝，
∴k＝×＝
∴反比例函数的解析式为y＝，
故答案为y＝．
三、解答题（共5小题，满分44分）
15．（6分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2，请在已有网格中画出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标 （10，8） ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C3为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（10，8）．
故答案为（10，7）．
16．（8分）若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等），每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数
（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
【分析】（1）根据“两位递增数”定义可得；
（2）画树状图列出所有“两位递增数”，找到个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）根据题意所有个位数字是5的“两位递增数”是15、25、45这4个；
（2）画树状图为：
共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为7，
所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率＝＝．
17．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，求BD的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质利用尺规作图作∠A的平分线交BC于点P即可；
（2）根据三角形相似判定和性质证明△PEB∽△ACB对应边成比例即可求解．
【解答】解：如图所示：
（1）作∠A的平分线交BC于点P，
点P即为所求作的点．
（2）作PE⊥AB于点E，则PE＝PC＝3，
∴AB与圆相切，
∵∠ACB＝90°，
∵AC与圆相切，
∴AC＝AE，
设BD＝x，BE＝y，
则BC＝6+x，BP＝5+x，
∵∠B＝∠B，∠PEB＝∠ACB，
∴△PEB∽△ACB
∴＝＝
∴＝＝
解得x＝5，
答：BD的长为2．
18．（10分）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，大正方形的面积为S．
（1）求S关于m的函数关系式；
（2）若小正方形边长不大于3，求S的取值范围，并画出S关于m函数的大致图象．
【分析】（1）分别用m和n表示出直角三角形的两条直角边长，再由勾股定理及正方形的面积公式可得S关于m和n的函数关系式，然后将n＝m﹣2代入化简即可；
（2）将（1）中的函数关系式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质及m的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）∵小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，
∴直角三角形较长直角边长为m+n，
由勾股定理及正方形的面积公式可知：
S＝（m+n）2+n2，
∵n＝m﹣8，
∴S＝（m+m﹣2）2+（m﹣3）2
＝4m3﹣8m+4+m2﹣4m+4
＝5m2﹣12m+8，
∵n＝m﹣4＞0，
∴m＞2．
∴S关于m的函数关系式为S＝6m2﹣12m+8（m＞2）；
（2）由（1）知，S＝5m2﹣12m+7＝5（m﹣1.4）2+0.4，
∵S关于m的二次函数的对称轴为直线m＝1.2，二次项系数为正，
∴当3＜m≤3时，S随m的增大而增大，
∴当m＝3时，S最大，S最小，
S最大＝8（3﹣1.4）2+0.7＝17，
S最小＝5（2﹣4.2）2+5.8＝4，
∴S的取值范围为：6＜S≤17．
19．（12分）已知AB是⊙O的直径，C、E分别是⊙O上的点，连接AE、AC、CE、BC
（1）如图1，点F为弧BC上一点，连接AF，H，若弧CF＝弧BE，求证：CE⊥AF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设AB交CE于点G，当∠ADC＝∠BDG时，若OH＝
【分析】（1）想办法证明∠CAH+∠ACH＝90°可得结论．
（2）如图2中，过点B作BK⊥CB于点B，交CE于点K，过点O作NO⊥OH交AH于点N，连接CO，过点D作DJ⊥AB于J，设DJ＝BJ＝m，则BD＝CD＝m，想办法求出DH，DG，可得结论．
【解答】解：（1）∵AB是直径，
∴∠AC＝90°，
∵＝，
∴∠CAF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE⊥AF．
（2）如图2中，过点B作BK⊥CB于点B．
∵∠ABC＝∠AEC＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴AC＝CB，
∵∠ACD＝∠CBK＝90°，∠CAD＝∠BCK，
∴△ACD≌△CBK（ASA），
∴BK＝CD，∠BKG＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠BDG，
∴∠BKG＝∠BDG，
∵∠GBD＝∠GBK＝45°，
∴△BGK≌△BDG（ASA），
∴BK＝DB，
∴D为CB中点，
∴tan∠CAH＝tan∠DCH＝，
在△ACB中，过点O作NO⊥OH交AH于点N，
∵∠OAN＝∠OCH，∠AON＝∠COH，
∴△ANO≌△CHO（ASA），
∴CH＝AN，ON＝OH，
∴△NOH是等腰直角三角形，
∵tan∠CAH＝＝，
∴CH＝AH，
∴AN＝NH，
∵OH＝，
∴由勾股定理可知：NH＝7，
∴CH＝AN＝NH＝2，
∴AH＝4，
过点D作DJ⊥AB于J，设DJ＝BJ＝mm，
∴AC＝CB＝2m，AB＝，
∴AJ＝3m，
∴tan∠HAG＝＝＝，
∴HG＝，
∵tan∠DCH＝＝，
∴DH＝1，
∴DG＝＝＝．