2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）入学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）入学数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路．据统计，2019年末全国农村贫困人口比2018年末全国农村贫困人口减少了11090000人（ ）
A．11.09×105B．1.109×107C．0.1109×108D．1.109×108
4．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2
C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝1
5．（3分）已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝4x（x≥0）B．y＝4x﹣3（x≥）
C．y＝3﹣4x（x≥0）D．y＝3﹣4x（0≤x≤）
6．（3分）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）
A．100mB．100mC．100mD．m
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
9．（3分）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°的中点，则四边形OACB是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
10．（3分）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC且过点D，则∠C的度数是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
11．（3分）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点（0，1）在y轴上，连接PD，则（ ）
A．4B．2+2C．2D．
二．填空题（共4小题）
13．（3分）函数中自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）分解因式：3ax2﹣18axy+27ay2＝ ．
15．（3分）如图，圆锥母线长BC＝9厘米，若底面圆的半径OB＝4厘米 ．
16．（3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm cm．
三．解答题（共9小题）
17．（6分）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）+，其中a＝2．
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，
20．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后不放回，请用列表或画树形图的方法，求出摸到“A”和“B”的概率．
21．（8分）如图，▱ABCD中，E，F分别是边BC，∠BAC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BC＝4，∠B＝60°，求四边形AECF的面积．
22．（8分）为发展农村经济，修建一批沼气池．某村共264户村民，计划修建A型、B型沼气池共20个
设修建A型沼气池x个；修建两种沼气池共需费用y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知政府只批给该村沼气池修建用地708m2，求既不超过政府批给该村沼气池修建用地，又要使该村每户村民都用上沼气的修建方案有哪几种？
（3）若选择（2）中费用最少的修建方案，村里得32万元政府补助款，全村村民共应自筹资金多少元？
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE•DA＝DC2；
（3）若，求的值．
24．（10分）已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，b），满足b﹣a＝2
例如：直线y＝2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）．
（1）求直线上的“梦幻点”的坐标；
（2）已知在双曲线（k≠0）上存在两个“梦幻点”？且两个“梦幻点”之间的距离为，求k的值．
（3）若二次函数的图象上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m≤3时，求t的值．
25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标，请说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路．据统计，2019年末全国农村贫困人口比2018年末全国农村贫困人口减少了11090000人（ ）
A．11.09×105B．1.109×107C．0.1109×108D．1.109×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据11090000用科学记数法可表示为1.109×107．
故选：B．
4．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2
C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝1
【分析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．
【解答】解：A．＝9；
B．|﹣7|＝，此选项错误；
C．（﹣）﹣1＝﹣2，此选项正确；
D．（tan45°﹣5）0无意义，此选项错误；
故选：C．
5．（3分）已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝4x（x≥0）B．y＝4x﹣3（x≥）
C．y＝3﹣4x（x≥0）D．y＝3﹣4x（0≤x≤）
【分析】根据路程＝速度×时间，容易知道y与x的函数关系式．
【解答】解：根据题意得：
全程需要的时间为：3÷4＝（小时），
∴y＝3﹣3x（0≤x≤）．
故选：D．
6．（3分）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）
A．100mB．100mC．100mD．m
【分析】根据题意求出∠AOB，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝OA＝100（m），
故选：A．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先解出不等式的解集，然后再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：x≥6，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为1≤x＜5．
数轴上表示如图：
，
故选：D．
8．（3分）学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解．
【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分，得到4个有效评分，与9个原始评分相比．
故选：B．
9．（3分）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°的中点，则四边形OACB是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【分析】连接OC，如图，利用圆心角、弧的关系得到∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，可判断△OAC和△OCB都是等边三角形，所以OA＝AC＝OB＝BC，于是可判断四边形OACB为菱形．
【解答】解：连接OC，如图，
∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝，
∵OA＝OC，OC＝OB，
∴△OAC和△OCB都是等边三角形，
∴OA＝AC＝OB＝BC，
∴四边形OACB为菱形．
故选：C．
10．（3分）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC且过点D，则∠C的度数是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【分析】首先根据邻补角互补可得∠CDB＝180°﹣160°＝20°，然后再根据平行线的性质可得∠ABD＝∠CDB＝20°，进而得到∠CBD＝20°，再利用三角形内角和定理算出∠C的度数．
【解答】解：∵∠CDE＝160°，
∴∠CDB＝180°﹣160°＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB＝20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝20°，
∴∠C＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
故选：D．
11．（3分）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣6，由此可得到所求的方程．
【解答】解：根据题意，得：．
故选：C．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点（0，1）在y轴上，连接PD，则（ ）
A．4B．2+2C．2D．
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．
【解答】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（2，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x3﹣2x﹣3，令y＝7，x2﹣2x﹣8＝0，
解得x＝﹣1或7，
∴A（﹣1，0），8），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，3），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∴DH＝BD•sin45°＝6，
∵PJ⊥CB，
∴∠PJC＝90°，
∴PJ＝PC，
∴PD+PC＝PC）＝，
∵DP+PJ≥DH，
∴DP+PJ≥8，
∴DP+PJ的最小值为2，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．（3分）函数中自变量x的取值范围是 x≠ ．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，3x﹣2≠4，
解得，x≠，
故答案为：x≠．
14．（3分）分解因式：3ax2﹣18axy+27ay2＝ 3a（x﹣3y）2 ．
【分析】先提公因式3a，然后利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：原式＝3a（x2﹣5xy+9y2）
＝4a（x﹣3y）2，
故答案是：2a（x﹣3y）2．
15．（3分）如图，圆锥母线长BC＝9厘米，若底面圆的半径OB＝4厘米 160° ．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等，可得弧长＝圆锥底面周长＝4π，再根据l＝即可求出圆心角的度数．
【解答】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×4π＝2π（厘米），
设所求圆心角的度数为n°，
则＝8π，
即侧面展开扇形图的圆心角为160°．
故答案为：160°．
16．（3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm 10 cm．
【分析】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．
【解答】解：连接OP，
∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴OP＝AB，
∵AB＝20cm，
∴OP＝10cm，
故答案为：10．
三．解答题（共9小题）
17．（6分）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．
【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1+2﹣4+1
＝1．
18．（6分）先化简，再求值：（﹣）+，其中a＝2．
【分析】先对所求式子进行化简，然后根据a＝2，b＝可以求得化简后式子的值，本题得以解决．
【解答】解：（﹣）+
＝
＝
＝，
当a＝2，b＝时．
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，
【分析】过点C作CD⊥AB，根据sinB＝＝，设CD＝4x，BC＝5x，在Rt△CDA中，由勾股定理得，求出CD的长，利用sinA＝可求解．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，
在Rt△CDB中，
∵sinB＝＝，
设CD＝6x，BC＝5x，
则BD＝3x，
∴AD＝10﹣7x，
在Rt△CDA中，由勾股定理得，
AC2＝AD2+CD7，
即102＝（10﹣3x）5+（4x）2，
整理得：25x4﹣60x＝0，
解得：x＝2.6或x＝0（舍去），
∴CD＝4x＝7.6，
在Rt△CDA中，
sinA＝＝＝．
20．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后不放回，请用列表或画树形图的方法，求出摸到“A”和“B”的概率．
【分析】（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“唆螺”的人数，补全条形统计图即可；
（2）求出喜欢“臭豆腐”的百分比，乘以2000即可得到结果；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出摸到“A”和“B”的情况数，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50﹣（14+21+5）＝10（人），
补全统计图，如图所示：
（2）根据题意得：2000××100%＝560（人），
则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，摸到“A”和“B”的结果有2个，
∴摸到“A”和“B”的概率为＝．
21．（8分）如图，▱ABCD中，E，F分别是边BC，∠BAC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BC＝4，∠B＝60°，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）根据菱形的性质得到BC＝AD，BC∥AD，由E，F分别是边BC，AD的中点，得到EC＝BC，AF＝AD，于是得到结论；
（2）如图，连接EF交AC于点O，解直角三角形得到AB＝2，AC＝2，根据菱形的性质得到AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，根据菱形的性质得到OE＝AB＝1，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵在▱ABCD中，
∴BC＝AD，BC∥AD，
又∵E，F分别是边BC，
∴EC＝BCAD，
∴EC＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图，连接EF交AC于点O，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，
∴AB＝6，AC＝2，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA＝OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝1，
∴EF＝4，
∴S菱形AECF＝AC•EF＝×7＝2．
22．（8分）为发展农村经济，修建一批沼气池．某村共264户村民，计划修建A型、B型沼气池共20个
设修建A型沼气池x个；修建两种沼气池共需费用y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知政府只批给该村沼气池修建用地708m2，求既不超过政府批给该村沼气池修建用地，又要使该村每户村民都用上沼气的修建方案有哪几种？
（3）若选择（2）中费用最少的修建方案，村里得32万元政府补助款，全村村民共应自筹资金多少元？
【分析】（1）共需费用y＝A型所需费用+B型所需费用，列出函数关系式．
（2）根据占地面积应小于等于708m2和可供使用户至少应为264户，列出不等式组进行求解．
（3）选出建造所需费用最少的方案，所需的总费用＝政府补助的费用+居民筹集的总费用据此解答即可．
【解答】解：（1）y＝3x+2（20﹣x）＝x+40；
（2）由题意可得：，
∴不等式组的解集为：12≤x≤14，
∵x为正整数，
∴x的取值为12、13，
有3种修建方案：①A型12个，B型8个  ，B型7个  ，B型6个；
（3）∵y＝x+40中，y随x的增大而增大，
当x＝12时，最少费用y＝x+40＝52（万元），
52﹣32＝20（万元）．
答：平均每户村民应自筹资金为20万元．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE•DA＝DC2；
（3）若，求的值．
【分析】（1）由题意根据圆周角定理及圆心角定理推出∠CAB＝∠DOB，从而证明DO∥AC；
（2）先根据圆周角定理得出∠DCB＝∠DAC，从而推出△DCE∽△DAC，利用相似三角形的性质证明DE•DA＝DC2；
（3）根据正切的意义得出边之间的关系：＝，再推出△DCE∽△DAC、△ACE∽△DFE，根据比例关系设出各线段的长，最后根据相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵D是弧BC的中点，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠CAB，
∵∠DAB＝∠DOB（圆心角定理），
∴∠CAB＝∠DOB，
∴DO∥AC．
（2）证明：∵D是弧BC的中点，
∴∠DCB＝∠DAC，
在△DCE和△DAC中，
，
∴△DCE∽△DAC，
∴，
即DE•DA＝DC2．
（3）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴tan∠CAD＝＝，
由（2）可知△DCE∽△DAC，
∴＝＝，
设CD＝2m，则AD＝4m，AE＝AD﹣DE＝5m，
∵DO∥AC，
∴∠CAD＝∠FDE，
在△ACE和△DFE中，
，
∴△ACE∽△DFE，
∴＝＝＝3．
24．（10分）已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，b），满足b﹣a＝2
例如：直线y＝2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）．
（1）求直线上的“梦幻点”的坐标；
（2）已知在双曲线（k≠0）上存在两个“梦幻点”？且两个“梦幻点”之间的距离为，求k的值．
（3）若二次函数的图象上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m≤3时，求t的值．
【分析】（1）将梦幻点P（a，a+2）代入解析式即可求解；
（2）将梦幻点P（a，a+2）代入解析式求得a＝﹣1±，从而得出P1（﹣1+，1+），P2（﹣1﹣，1﹣），再利用两点间距离公式建立方程求解即可；
（3）把点P的坐标代入二次函数表达式，化简得：a2+（m﹣t）a+n+t﹣2＝0，由于图象上存在唯一的梦幻点，故Δ＝0，得出n＝m2﹣2mt+t2﹣t+2，该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，分①当对称轴是m＝t≥3，②当对称轴是m＝t≤﹣2，③当对称轴是﹣2＜m＝t＜3，三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）设梦幻点P（a，a+2），
∵点P是直线上的“梦幻点”，
∴a+2＝a+3，
∴a＝3，
∴点P（2，4）；
（2）若点P（a，a+6）在双曲线y＝，
∴k＝a（a+2），
∴a＝﹣1±，
∴P1（﹣1+，1+），P5（﹣1﹣，5﹣），
∵两个“梦幻点”之间的距离为，
∴[（﹣8+）﹣（﹣1﹣2+[（1+）﹣（1﹣5＝（）2，
解得：k＝﹣；
（3）∵点P是二次函数的图象上的梦幻点，
∴a+3＝a8+（m﹣t+1）a+n+t，
∴a2+（m﹣t）a+n+t﹣2＝6，
∵图象上存在唯一的梦幻点，
∴Δ＝0，
∴（m﹣t）2﹣5××（n+t﹣4）＝0，
∴n＝m2﹣3mt+t2﹣t+2，
该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，
①当对称轴是m＝t≥2时，函数在m＝3时，
即：n＝9﹣8t+（t2﹣t+2）＝t，
解得：t＝6+，t＝4﹣；
②当对称轴是m＝t≤﹣2时，函数在m＝﹣2时，
即：n＝2+4t+（t2﹣t+3）＝t，
∴（t+1）2＝﹣5，此方程无解；
③当对称轴是﹣2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，
即：n＝t7﹣2t2+（t6﹣t+2）＝t，
解得：t＝1，
综上所述，t的值为6+．
25．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标，请说明理由．
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，则可求解析式；
（2）连接PO，设P（n，﹣n2+2n+3），分别求出S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，所以S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，在Rt△CGD中，CG＝DG，所以（t﹣3）＝t2﹣2t+3，求出D（3+3，﹣3），所以AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2＝36，求出m＝3或m＝﹣3，即可求Q．
【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+6，
将B（6，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，
由题意，BO＝2，
设P（n，﹣n8+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n7+n＝﹣）2+，
∴当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+6t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG＝t﹣3，CG＝8﹣（﹣t3+2t+3）＝t2﹣7t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+6或t＝3（舍）
∴D（8+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝2，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝，
设Q（0，m），
AQ2＝OA4+QO2＝9+m5，
∴AQ2＝AC2，
∴4+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（2，3）或（7）．
沼气池
修建费用（万元/个）
修建用地（m2/个）
可供使用的户数（户/个）
A型
3
48
20
B型
2
6
3
沼气池
修建费用（万元/个）
修建用地（m2/个）
可供使用的户数（户/个）
A型
3
48
20
B型
2
6
3