2020-2021学年河北省唐山市滦州市九年级（下）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省唐山市滦州市九年级（下）开学数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．无法确定
3．（3分）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
某同学分析上表后得到如下结论：
①一班和二班学生平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分≥85分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
4．（3分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A．5sin40°B．5cs40°C．D．
6．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有，（）0，，，2﹣2，把卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离或相切D．相交或相切
9．（3分）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3
10．（3分）如图，∠1的正弦值为（ ）
A．B．C．3D．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝6（ ）
A．πB．3πC．6πD．12π
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0），PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0），AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（ ）
A．逐渐变大B．逐渐变小C．等于定值16D．等于定值24
14．（2分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣10D．10
16．（2分）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7
二、填空题（本大题共12分，其中第17，18题每小题3分，第19题每空2分）
17．（3分）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是 ．
18．（3分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是 ．
19．（6分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图1，A、B、C是三个垃圾存放点，点B、C分别位于点A的正北和正东方向
他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，3：
（1）求表中∠C度数的平均数；
（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；
（3）用（1）中的作为∠C的度数，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（结果保留整数，参考数据：≈1.732）
21．（9分）如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
22．（9分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）（4，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数表达式；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，函数值y的取值范围；
（3）将直线y＝ax+b向下平移n个单位，当直线与双曲线没有交点时，直接写出n的取值范围．
23．（9分）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
24．（10分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q＝W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．
（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）当x＝70，Q＝450时，求n的值；
（3）若n＝3，要使Q最大，确定x的值．
25．（10分）如图，在直线AB上，取线段AB＝36，点C在半圆上，且tan∠AOC＝，且能过D作直线l∥OC交直线AB于点E，连接OD．
（1）若半圆O上一段弧BD长为9π，求∠BOD的度数及OE的长度；
（2）求OE的最大值，并指出此时直线l与半圆O的位置关系；
（3）若线段DE的长为15，直接写出这时OE的长度．
26．（11分）如图，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线L的解析式及顶点G的坐标．
（2）抛物线L是否经过点C，说明理由．
（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△GCD的面积相等，不存在请说明理由．
2020-2021学年河北省唐山市滦州市九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案序号填写在对应括号中）
1．（3分）已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．
【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6；
B、变成等积式是：3x＝8y；
C、变成等积式是：2x＝3y；
D、变成等积式是：8x＝2y．
故选：C．
2．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．无法确定
【分析】由于x＝﹣1时有a+b＝2020，于是可判断此方程必有一根为﹣1．
【解答】解：当x＝﹣1时，a+b﹣2020＝0，
所以若a+b＝2020，则此方程必有一根为﹣6．
故选：B．
3．（3分）一班和二班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
某同学分析上表后得到如下结论：
①一班和二班学生平均水平相当；②一班优秀率高于二班优秀率（竞赛得分≥85分为优秀）；③二班成绩比一班稳定．上述结论中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【分析】根据平均数、中位数、方差的定义即可判断．
【解答】解：由表格可知，一、二两班学生的平均成绩相同；
根据中位数可以确定，二班优秀的人数少于一班优秀的人数；
根据方差可知，一班成绩的波动性比二班小．
故①②正确，
故选：A．
4．（3分）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
5．（3分）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A．5sin40°B．5cs40°C．D．
【分析】因为梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度．即＝cs40°，由此可以求出梯子底端到墙角的距离．
【解答】解：∵梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，
∴梯子底端到墙角的距离＝梯子长度×cs40°＝5cs40°．
故选：B．
6．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选：B．
7．（3分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有，（）0，，，2﹣2，把卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先将给出的五个数计算，发现只有一个无理数：，求出抽到正面的数字是无理数的概率是．
【解答】解：＝3，（，＝2，2﹣2＝，，
无理数为：，
所以抽到无理数的概率为：，
故选：A．
8．（3分）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离或相切D．相交或相切
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝6，
∴x1＝3，x4＝4，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣8x+12＝0的根，
∴r＝3或r＝6，
∵d＝3，
∴当r＝3时，d＝r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相切，
当r＝6时，d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：D．
9．（3分）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3
【分析】由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，代入点（0，﹣3）可求出a值，进而可得出抛物线的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣5，
将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣5）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）7﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣8）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
故选：A．
10．（3分）如图，∠1的正弦值为（ ）
A．B．C．3D．
【分析】首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用圆周角定理推知∠1＝∠2，最后由锐角三角函数定义作答．
【解答】解：如图，在直角△ABC中，BC＝1＝＝．
∵∠1与∠7所对的弧相等，
∴∠1＝∠2．
∴sin∠4＝sin∠2＝＝＝．
故选：D．
11．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把B点的横纵坐标分别乘以或﹣即可得到点B′的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，
∴点B（﹣4，﹣3）的对应点B′的坐标是（﹣3，8）．
故选：D．
12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝6（ ）
A．πB．3πC．6πD．12π
【分析】根据题意得出△COB是等边三角形，进而得出CD⊥AB，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．
【解答】解：连接BC，
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
又∵CO＝BO，
∴△COB是等边三角形，
∵E为OB的中点，
∴CD⊥AB，
∵CD＝6，
∴EC＝3，
∴sin60°×CO＝3，
解得：CO＝6，
故阴影部分的面积为：＝12π．
故选：D．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0），PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0），AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（ ）
A．逐渐变大B．逐渐变小C．等于定值16D．等于定值24
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出S△POC＝×2＝1，S矩形ACOD＝6，即可得出＝，从而得出＝，通过证得
△POC∽△PBA，得出＝（）2＝，即可得出S△PAB＝16S△POC＝16．
【解答】解：由题意可知S△POC＝×5＝1，S矩形ACOD＝6，
∵S△POC＝OC•PC，S矩形ACOD＝OC•AC，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵AB∥x轴，
∴△POC∽△PBA，
∴＝（）2＝，
∴S△PAB＝16S△POC＝16，
∴△PAB的面积等于定值16．
故选：C．
14．（2分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣10D．10
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣7得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】方法一：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣7，
∴a＞0．
﹣＝﹣73＝28a，
∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4am≥0，即28a﹣5am≥0，
∴m的最大值为7，
方法二：解：一元二次方程ax7+bx+m＝0有实数根，则二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y＝﹣m有交点，
由图象得，﹣m≥﹣8，
∴m的最大值为7，
故选：B．
16．（2分）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7
【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【解答】解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，此时的M点坐标为（﹣2，
当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，4），0），
故点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
二、填空题（本大题共12分，其中第17，18题每小题3分，第19题每空2分）
17．（3分）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】先根据众数的定义求出x＝5，再根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：∵数据6，x，3，3，5，1的众数是8和5，
∴x＝5，
则数据为7、3、3、7、5、6，
∴这组数据为＝2，
故答案为：4．
18．（3分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是 ．
【分析】因为PB为切线，所以△OPB是Rt△．又OB为定值，所以当OP最小时，PB最小．根据垂线段最短，知OP＝3时PB最小．根据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP＝90°，
∴PB2＝OP2﹣OB8，
而OB＝2，
∴PB2＝OP7﹣4，即PB＝，
当OP最小时，PB最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PB的最小值为＝．
故答案为：．
19．（6分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ 48 ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ 5 ；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 23 个．
【分析】1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；
（2）将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解；
（3）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．
【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是2和3，
∴T4（24，2），T2（21，2），T3（18，6），T7（15，8），T5（12，10），T6（9，12），T7（2，14），T8（3，16），
∵L过点T2，
∴k＝24×2＝48，
故答案为：48；
（2）∵L过点T4，
∴k＝15×4＝120，
∴反比例函数解析式为：y＝，
当x＝12时，y＝10，
∴T5在反比例函数图象上，
∴m＝5，
故答案为：7；
（3）若曲线L过点T1（24，2），T8（3，16）时，
若曲线L过点T2（21，4），T7（6，14）时，
若曲线L过点T5（18，6），T6（3，12）时，
若曲线L过点T4（15，8），T2（12，10）时，
∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，
∴84＜k＜108，
∴整数k共有：108﹣（84+1）＝23（个），
故答案为：23．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图1，A、B、C是三个垃圾存放点，点B、C分别位于点A的正北和正东方向
他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，3：
（1）求表中∠C度数的平均数；
（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；
（3）用（1）中的作为∠C的度数，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（结果保留整数，参考数据：≈1.732）
【分析】（1）利用平均数求法进而得出答案；
（2）利用扇形统计图以及条形统计图可得出C处垃圾量以及所占百分比，进而求出垃圾总量，进而得出A处垃圾量；
（3）利用锐角三角函数得出AB的长，进而得出运垃圾所需的费用．
【解答】解：（1）＝×（28+29+31+32）＝30（度）；
（2）∵C处垃圾存放量为：320kg，在扇形统计图中所占比例为：50%，
∴垃圾总量为：320÷50%＝640（千克），
∴A处垃圾存放量为：（5﹣50%﹣37.5%）×640＝80（kg），占12.5%．
补全条形图如下：
（3）∵AC＝100米，∠C＝30°，
∴AB＝ACtan30°＝100×≈58（米），
∵运送1千克垃圾每米的费用为2.005元，
∴运垃圾所需的费用为：58×80×0.005≈23（元），
答：运垃圾所需的费用为23元．
21．（9分）如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
【分析】（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，根据题意得到x（38+2﹣2x）＝150，解方程即可得到结论；
（2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得到函数关系y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，根据二次函数的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，
根据题意得，x（38+6﹣2x）＝150，
解得：x1＝15，x4＝5，
当x1＝15时，AD＝106＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去），
∴AB＝15；
（2）设仓库的最大面积为y平方米，
根据题意得，y＝x（38+2﹣4x）＝﹣2x2+40x＝﹣4（x﹣10）2+200，
∵a＝﹣2＜2，38+2﹣2×10＝20＜22，
∴当x＝10时，y最大值＝200，
答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米．
22．（9分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）（4，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数表达式；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，函数值y的取值范围；
（3）将直线y＝ax+b向下平移n个单位，当直线与双曲线没有交点时，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）把B（4，1）代入y＝求得k的值，根据反比例函数解析式求得A（1，4），然后根据待定系数法求得一次函数解析式；
（2）求得x＝2和x＝6时所对应的函数值，根据反比例函数的性质即可求得y的取值；
（3）直线y＝ax+b向下平移n个单位，得到y＝﹣x+5﹣n，令﹣x+5﹣n＝，整理得x2+（n﹣5）x+4＝0，根据题意Δ＝（n﹣5）2﹣4×1×4＜0，解得1＜n＜9．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点B（4，
∴k＝4×7＝4，
∴反比例函数为y＝，
把A（m，2）代入y＝，
∴A（1，2），
把A（1，4），2）代入直线y＝ax+b，得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+2；
（2）当x＝2时，y＝
当x＝4时，y＝＝，
∵k＝4＞0，
∴当x＞8时，y随x值增大而减小，
∴当2≤x≤6时，≤y≤2；
（3）∵直线y＝ax+b向下平移n个单位，得到y＝﹣x+5﹣n，
令﹣x+5﹣n＝，整理得x8+（n﹣5）x+4＝3，
根据题意Δ＝（n﹣5）2﹣6×1×4＜6，
解得1＜n＜9．
23．（9分）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
【分析】方案①：设正方形的边长为xcm，然后求出△AEF和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
方案②：作BH⊥AC于H，交DE于K，构造矩形DKHG和相似三角形（△BDE∽△BCA），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH的长度，则BK＝4.8﹣y；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解答】解：设方案①正方形的边长为xcm，
∵∠ABC＝90°，四边形BDFE是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
即加工成正方形的边长为cm．
设方案②正方形的边长为ycm，作BH⊥AC于H，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DE∥AC，∠EDG＝∠DGF＝90°．
∴BH⊥DE于K．
∴∠DKH＝90°．
∴四边形DKHG为矩形．
故设HK＝DG＝y．
∴DE∥AC．
∴△BDE∽△BCA．
∴＝．
∵AC＝＝10．
∴S△ABC＝＝×BH．
∴BH＝4.8．
∴BK＝3.8﹣y．
∴＝．
解得y＝．
即方案②加工成正方形的边长为cm．
24．（10分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q＝W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．
（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）当x＝70，Q＝450时，求n的值；
（3）若n＝3，要使Q最大，确定x的值．
【分析】（1）根据题目所给的信息，设W＝k1x2+k2nx，然后根据Q＝W+100，列出用Q的解析式；
（2）将x＝70，Q＝450，代入求n的值即可；
（3）把n＝3代入，确定函数关系式，然后求Q最大值时x的值即可．
【解答】解：（1）设W＝k1x2+k8nx，则Q＝k1x2+k6nx+100，
由表中数据，得，
解得：，
∴Q＝﹣x2+6nx+100；
（2）将x＝70，Q＝450代入Q＝﹣x3+6nx+100得，
450＝﹣×703+6×70n+100，
解得：n＝2；
（3）当n＝3时，Q＝﹣x2+18x+100＝﹣（x﹣90）2+910，
∵﹣＜6，
∴函数图象开口向下，有最大值，
则当x＝90时，Q有最大值，
即要使Q最大，x＝90．
25．（10分）如图，在直线AB上，取线段AB＝36，点C在半圆上，且tan∠AOC＝，且能过D作直线l∥OC交直线AB于点E，连接OD．
（1）若半圆O上一段弧BD长为9π，求∠BOD的度数及OE的长度；
（2）求OE的最大值，并指出此时直线l与半圆O的位置关系；
（3）若线段DE的长为15，直接写出这时OE的长度．
【分析】（1）根据弧长公式可得∠BOD的度数，再利用tan∠AOC＝可得OE；
（2）当直线l与半圆相切于D时，OE最大，利用三角函数可得答案；
（3）分点D在上和点D在上两种情况，利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）∵半圆O的直径是36，
∴半圆O的半径是18，
∴9π＝，
解得n＝90°，
∴∠BOD＝90°．
∵l∥OC，
∴∠AOC＝∠OED，
∴tan∠AOC＝tan∠OED＝．
在Rt△OED中，tan∠OED＝，
∵OD＝18，
∴OE＝24．
（2）当直线l与半圆相切于D时，OE最大，
∵直线l与半圆相切于D，
∴OD⊥DE，
在Rt△OED中，tan∠OED＝，
设OD＝5a，DE＝4a，
∴OE＝＝2a，
∴sin∠OED＝，
∵OD＝18，
∴OE＝30．
（3）OE＝5+12或9．
当点D在上时，如图：
在Rt△DFE中，DE＝15，
∴DF＝2，EF＝12，
在Rt△DOF中，OD＝18，
∴OF＝＝9，
∴OE＝2+12；
当点D在上时，如图：
在Rt△DFE中，DE＝15，
∴DF＝9，EF＝12，
在Rt△DOF中，OD＝18，
∴OF＝＝9，
∴OE＝9﹣12；
综上，OE＝6．
26．（11分）如图，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线L的解析式及顶点G的坐标．
（2）抛物线L是否经过点C，说明理由．
（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△GCD的面积相等，不存在请说明理由．
【分析】（1）先求出点A的坐标，再用三角函数求出OB，得出点B坐标，最后将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求解即可得出结论；
（2）先利用旋转求出OC，进而得出点C坐标，最后将点C坐标代入抛物线解析式中检验，即可得出结论；
（3）先求出点D坐标，进而求出直线CD的解析式，再过点G作PG∥CD交抛物线于P，进而求出直线PG的解析式，最后联立抛物线解析式和直线PG的解析式，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（1，6），
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝，
∴OB＝3，
∴B（8，3），
∵点A，B在抛物线L：y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣7x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点G的坐标为（﹣1，4）；
（2）抛物线L是经过点C，
理由：由旋转知，OC＝OB＝3，
∴C（﹣3，7），
由（1）知，抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣2x+8，
当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）4﹣2×（﹣3）+5＝0，
∴抛物线L是经过点C；
（3）存在，如图，由旋转知，OD＝OA＝1，
∴D（7，1），
由（2）知，C（﹣3，
∴直线CD的解析式为y＝x+1，
过点G（﹣4，4）作PG∥CD，
∴直线PG的解析式为y＝x+①，
由（1）知，抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣3x+3②，
联立①②解得，或，
∴P（﹣，）．
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
一班
45
83
86
82
二班
45
83
84
135
甲
乙
丙
丁
∠C（单位：度）
28
29
31
32
次数n
2
1
速度x
40
60
指数Q
420
100
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
一班
45
83
86
82
二班
45
83
84
135
甲
乙
丙
丁
∠C（单位：度）
28
29
31
32
次数n
2
1
速度x
40
60
指数Q
420
100