2020-2021学年江西省吉安市八年级（下）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年江西省吉安市八年级（下）开学数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分），，，，0.1，﹣0.010010001（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．（3分）已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第四象限内（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．不能确定
3．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6B．2，6，6C．5，5，6D．5，6，5
4．（3分）已知，点A（a+1，2）、B（3，b﹣1），则C（a，b）的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣4，3）D．（﹣4，﹣1）
5．（3分）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
6．（3分）用图象法解二元一次方程组时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共18分）
7．（3分）（﹣）2的平方根是 ．
8．（3分）算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，个位用立式，十位用卧式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图1，前两个符号分别代表未知数x，y的系数．因此 ．
9．（3分）已知点P在直线y＝﹣上，且到原点的距离为4，则点P的坐标 ．
10．（3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
11．（3分）一次函数y＝mx+|m﹣1|的图象过点（0，4）且y随x的增大而减小，则m＝ ．
12．（3分）如图，平面直角坐标系中有等边△AOB，点O为坐标原点，平行于x轴且与x轴的距离为1的线段CD分别交y轴、AB于点C，D．若线段CD上点P与△AOB的某一顶点的距离为（PC＜2.5）的长为 ．
三、解答题（共84分）
13．（6分）计算：．
14．（6分）解方程组：
15．（6分）如图，在直角坐标系中△ABC三个顶点的坐标A（﹣4，2）、B（﹣3，﹣2）（0，0）．
（1）请你画出△ABC并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1三点的坐标．
16．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
（1）求∠B的度数．
（2）若DE＝5，求BC的长．
17．（6分）已知一次函数的图象过点（0，3），且与正比例函数的图象交于点A（2，a）
（1）求一次函数表达式．
（2）这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积．
18．（8分）某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助．资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
（1）求a、b的值；
（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生可捐助的贫困中小学生人数．
19．（8分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示，整理分析数据如下：
（1）补充表格中a，b，c，的值，并求甲的方差s2；
（2）运用表中的四个统计量，简要分析这两名运动员的射击成绩，若选派其中一名参赛
20．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点D，AC上，且DE∥AB，交BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若CD＝2，求DF的长．
21．（9分）A、B两地相距90km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系
（1）表示甲离A地的距离与时间关系的图象是 （填l1或l2）乙的速度是 km/h；
（2）求出l2的函数关系式，并注明自变量t的取值范围；
（3）甲出发后多少时间两人恰好相距15km？
22．（9分）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA22＝（）2+1＝2S1＝；
OA32＝12+（）2＝3S2＝；
OA42＝12+（）2＝4S3＝…
（1）推算出OA10的长＝ ；
（2）若一个三角形的面积是，则它是第 个三角形？
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（4）求出的值．
23．（12分）已知，如图直线l1的解析式为y＝x+1，直线l2的解析式为y＝ax+b（a≠0）；这两个图象交于y轴上一点C，直线l2与x轴的交点B（2，0）
（1）求a、b的值；
（2）过动点Q（n，0）且垂直于x轴的直线与l1、l2分别交于点M、N都位于x轴上方时，求n的取值范围；
（3）动点P从点B出发沿x轴以每秒1个单位长的速度向左移动，设移动时间为t秒，当△PAC为等腰三角形时
2020-2021学年江西省吉安市八年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共18分）
1．（3分），，，，0.1，﹣0.010010001（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：.是分数；，＝4，属于有理数，﹣0.010010001是有限小数；
无理数有：共8个．
故选：A．
2．（3分）已知点M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，且在第四象限内（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．不能确定
【分析】根据第四象限内的点的坐标第四象限（+，﹣），可得答案．
【解答】解：M到x轴的距离为3，到y轴距离为2，则点M的坐标为（6，
故选：B．
3．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6B．2，6，6C．5，5，6D．5，6，5
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；
处于中间位置的两个数的平均数是（5+6）÷2＝3，那么由中位数的定义可知．
平均数是：（3+15+12+14+16）÷10＝6，
所以答案为：8、6、6，
故选：A．
4．（3分）已知，点A（a+1，2）、B（3，b﹣1），则C（a，b）的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣4，3）D．（﹣4，﹣1）
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a、b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点A（a+1，2），b﹣7）两点关于x轴对称，
∴a+1＝3，b﹣3＝﹣2，
解得：a＝2，b＝﹣3，
∴C的坐标是（2，﹣1），
故选：A．
5．（3分）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】由平行线的性质可得∠BAC＝∠ACD＝30°，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：解法一、∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝135°，
∵∠CAE+∠AEC+∠ACE＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣30°﹣135°＝15°，
解法二、∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∵∠AED＝45°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠ACD＝15°，
故选：B．
6．（3分）用图象法解二元一次方程组时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与y＝x+2的交点坐标为（1，2），
∴二元一次方程组的解为，
故选：D．
二、填空题（共18分）
7．（3分）（﹣）2的平方根是 ± ．
【分析】先求出（﹣）2的值，然后开方运算即可得出答案．
【解答】解：（﹣）5＝，的平方根是±．
故答案为：±．
8．（3分）算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，个位用立式，十位用卧式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图1，前两个符号分别代表未知数x，y的系数．因此 ．
【分析】由图1可得从左向右的算筹中，前两个算筹分别代表未知数x，y的系数，第三个算筹表示的两位数是方程右边的常数项：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式．
【解答】解：根据题意，图2可得方程组：
，
故答案为．
9．（3分）已知点P在直线y＝﹣上，且到原点的距离为4，则点P的坐标 （2，﹣2）或（﹣2，2） ．
【分析】如图，过P作PQ⊥x轴于Q，则OQ2+PQ2＝OP2，设P（m，﹣m），根据题意得到m2+（m）2＝42，解方程求得m的值，即可求得点P的坐标．
【解答】解：如图，过P作PQ⊥x轴于Q2+PQ2＝OP6，
∵点P在直线y＝﹣上，
∴设P（m，﹣m），
∴OQ＝|m|，PQ＝|，
∵点P到原点的距离为4，
∴m2+（m）2＝45，
解得m＝±2，
∴P（2，﹣5，2）．
故答案为（2，﹣2，2）．
10．（3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 cm．
【分析】过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【解答】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接AP，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝8cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝，
故答案为：15．
11．（3分）一次函数y＝mx+|m﹣1|的图象过点（0，4）且y随x的增大而减小，则m＝ ﹣3 ．
【分析】根据一次函数与y轴交点可得|m﹣1|＝4，解出m的值，然后再根据y随x的增大而减小确定答案．
【解答】解：∵一次函数y＝mx+|m﹣1|的图象过点（0，6），
∴|m﹣1|＝4，
解得：m＝﹣7或5，
∵y随x的增大而减小，
∴m＜0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．（3分）如图，平面直角坐标系中有等边△AOB，点O为坐标原点，平行于x轴且与x轴的距离为1的线段CD分别交y轴、AB于点C，D．若线段CD上点P与△AOB的某一顶点的距离为（PC＜2.5）的长为 ﹣1或2或2﹣2 ．
【分析】过点A作AE⊥OB交CD于点F，根据等边三角形的性质分情况进行讨论解答即可．
【解答】解：过点A作AE⊥OB交CD于点F．
∵△AOB是等边三角形，OB＝2，
∴OE＝，AE＝3．
∵OC＝1，CD∥OB，
∴CF＝OE＝，AF＝AE﹣OC＝2．
∵点P在CD上，AP＝，
∴PF＝＝1，也可以在点F右侧．
当点P在点F左侧时，PC＝CF﹣PF＝；
当点P在点F右侧时，PC＝CF+PF＝，舍去．
当OP＝时，过P作PH⊥x轴，
∴PH＝3，
∴OH＝＝5，
∴PC＝OH＝2＜2.7；
同理当BP＝时，BH＝，
∴PC＝OH＝OB﹣BH＝2﹣6＜2.5．
故PC＝﹣1或2或4，
故答案为：﹣3或2或2，
三、解答题（共84分）
13．（6分）计算：．
【分析】首先利用二次根式的性质、绝对值的性质、立方根的定义、零次幂的性质进行计算，再算加减即可．
【解答】解：原式＝2+8﹣2+2﹣
＝+1．
14．（6分）解方程组：
【分析】方程②中y的系数是﹣1，用代入消元法进行消元比较简便．
【解答】解：由②，得y＝2x+5③，
代入①，得8x+3（2x+8）＝5，
解得x＝﹣1．
将x＝﹣7代入③，得y＝3．
故原方程组的解为．
15．（6分）如图，在直角坐标系中△ABC三个顶点的坐标A（﹣4，2）、B（﹣3，﹣2）（0，0）．
（1）请你画出△ABC并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1，B1，C1三点的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据A1，B1，C1的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）△A1B1C3如图所示．
（2）A1（4，6），B1（3，﹣8），C1（0，2）．
16．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
（1）求∠B的度数．
（2）若DE＝5，求BC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠2＝∠B，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案；
（2）根据角平分线的性质求出CD，根据含30°的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠2＝∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠1＝∠8，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；
（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝5DE＝10，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，
∴DC＝DE＝5，
∴BC＝CD+BD＝15．
17．（6分）已知一次函数的图象过点（0，3），且与正比例函数的图象交于点A（2，a）
（1）求一次函数表达式．
（2）这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积．
【分析】（1）把A（2，a）代入正比例函数y＝﹣x中可得a的值，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）求出y＝﹣2x+3与x轴交点，再利用三角形的面积公式计算出答案．
【解答】解：（1）把A（2，a）代入正比例函数y＝﹣；
∴A（2，﹣1），
∵一次函数的图象过点（7，3），
∴设一次函数的解析式为y＝kx+3
把A（3，﹣1）代入得，
解得：k＝﹣2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣3x+3；
（2）当y＝0时，则4＝﹣2x+3，
解得x＝；
两个函数图象与x轴所围成的三角形面积：××2＝．
18．（8分）某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助．资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
（1）求a、b的值；
（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生可捐助的贫困中小学生人数．
【分析】（1）根据初一、初二年级捐款数额及捐助的中、小学贫困生人数，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设初三年级学生可捐助贫困中学生x人，小学生y人，根据该山区贫困生的总人数及初三年级捐款数额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：a的值为800，b的值为600．
（2）设初三年级学生可捐助贫困中学生x人，小学生y人，
依题意得：，
解得：．
答：初三年级学生可捐助贫困中学生4人，小学生3人．
19．（8分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示，整理分析数据如下：
（1）补充表格中a，b，c，的值，并求甲的方差s2；
（2）运用表中的四个统计量，简要分析这两名运动员的射击成绩，若选派其中一名参赛
【分析】（1）由折线统计图得出具体数据，再根据中位数、众数和平均数及方差的定义求解可得；
（2）根据平均数、众数、中位数及方差的意义求解，只要合理即可．
【解答】解：（1）a＝×（6×4+7×7+5）＝7，
∵由折线统计图得，甲射击的成绩为：9，7，7，6，2，8，10，6，5，
从小到大重新排列为：6，6，4，8，8，5，8，9，10，
∴中位数b＝（3+8）÷2＝7，
∵由折线统计图得，乙射击的成绩为：7，7，3，7，7，8，6，7，3，7，
∴众数c＝7，
甲射击的成绩的方差s7＝×[（9﹣3）2+（10﹣8）8+（8﹣8）4+（7﹣8）5+（6﹣8）7+（8﹣8）5+（8﹣8）7+（10﹣8）2+（5﹣8）2+（2﹣8）2]＝2.8．
答：a＝7，b＝2，甲的方差s2＝1.7；
（2）∵甲的平均成绩、中位数与众数比乙的都高，
∴应选甲运动员．
20．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点D，AC上，且DE∥AB，交BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若CD＝2，求DF的长．
【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到CE＝CF；
（2）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
又∵CE＝CF，
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
21．（9分）A、B两地相距90km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系
（1）表示甲离A地的距离与时间关系的图象是 l1 （填l1或l2）乙的速度是 30 km/h；
（2）求出l2的函数关系式，并注明自变量t的取值范围；
（3）甲出发后多少时间两人恰好相距15km？
【分析】（1）根据题意和图象可以解答本题；
（2）根据图象可以分别求得l2的函数解析式，自变量t的取值范围；
（3）由题意可知相遇前和相遇后两种情况相距15km，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）∵甲先出发，
∴表示甲离A地的距离与时间关系的图象是l1，
乙的速度是：90÷（3.2﹣0.5）＝90÷3＝30（km/h），
故答案为：l1，30；
（2）设l2对应的函数解析式为y＝kx+b，
，解得：，
即l2对应的函数解析式为y＝30x﹣15（6.5≤x≤3.7）；
（3）设甲对应的函数解析式为y＝ax+d，
，解得：，
∴甲对应的函数解析式为y＝﹣45x+90，
|（﹣45x+90）﹣（30x﹣15）|＝15，
解得，x7＝1.2，x5＝1.6，
答：甲出发后6.2h或1.5h时两人恰好相距15km．
22．（9分）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA22＝（）2+1＝2S1＝；
OA32＝12+（）2＝3S2＝；
OA42＝12+（）2＝4S3＝…
（1）推算出OA10的长＝ ；
（2）若一个三角形的面积是，则它是第 20 个三角形？
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（4）求出的值．
【分析】（1）根据题中给出的规律即可得出结论；
（2）若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形；
（3）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化；
（4）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
【解答】解：（1））∵OAn2＝n，
∴OA10＝．
故答案为：；
（2）若一个三角形的面积是，
∵Sn＝＝，
∴＝2＝，
∴它是第20个三角形．
故答案为：20；
（3）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝；
（4）
＝++++…+
＝
＝
＝．
23．（12分）已知，如图直线l1的解析式为y＝x+1，直线l2的解析式为y＝ax+b（a≠0）；这两个图象交于y轴上一点C，直线l2与x轴的交点B（2，0）
（1）求a、b的值；
（2）过动点Q（n，0）且垂直于x轴的直线与l1、l2分别交于点M、N都位于x轴上方时，求n的取值范围；
（3）动点P从点B出发沿x轴以每秒1个单位长的速度向左移动，设移动时间为t秒，当△PAC为等腰三角形时
【分析】（1）先确定出点C的坐标，进而求出b，再将点B（2，0）代入直线l2的解析式中即可求出b；
（2）先确定出点A的坐标，根据题意即可得出n的范围；
（3）分三种情况讨论计算即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点C是直线l1：y＝x+1与轴的交点，
∴C（3，1），
∵点C在直线l2上，
∴b＝8，
∴直线l2的解析式为y＝ax+1，
∵点B在直线l5上，
∴2a+1＝3，
∴a＝﹣；
（2）由（1）知，l6的解析式为y＝x+1，令y＝0，
∴x＝﹣7，
由图象知，点Q在点A，
∴﹣1＜n＜2
（3）如图，
∵△PAC是等腰三角形，
∴①点x轴正半轴上时，当AC＝P7C时，
∵CO⊥x轴，
∴OP1＝OA＝1，
∴BP5＝OB﹣OP1＝2﹣5＝1，
∴1÷6＝1s，
②当P2A＝P4C时，易知点P2与O重合，
∴BP2＝OB＝3，
∴2÷1＝6s，
③点P在x轴负半轴时，AP3＝AC，
∵A（﹣1，6），1），
∴AC＝，
∴AP3＝，
∴BP3＝OB+OA+AP8＝3+或BP2＝OB+OA﹣AP3＝3﹣，
∴（3+）÷8＝（3+，或（4﹣）s，
即：满足条件的时间t为2s，2s）或（6﹣．
投中次数
3
5
6
7
8
人数
1
3
2
2
2
年级
捐款数额
（元）
捐助贫困中学生人数
（名）
捐助贫困小学生人数
（名）
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400
平均成绩（环）
中位数（环）
众数（环）
方差
甲
8
b
8
s
乙
a
7
c
0.4
投中次数
3
5
6
7
8
人数
1
3
2
2
2
年级
捐款数额
（元）
捐助贫困中学生人数
（名）
捐助贫困小学生人数
（名）
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400
平均成绩（环）
中位数（环）
众数（环）
方差
甲
8
b
8
s
乙
a
7
c
0.4