2020-2021学年安徽省合肥市包河区中国科大附中九年级（下）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年安徽省合肥市包河区中国科大附中九年级（下）开学数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列实数中最小的数是（ ）
A．2B．﹣5C．3D．π
2．（4分）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）安徽省的陆地面积为139400km2，139400用科学记数法可表示为（ ）
A．1394×102B．1.394×104C．1.394×105D．13.94×104
4．（4分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1＜b+1D．ma＞mb
5．（4分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1（ ）
A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5
6．（4分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是AB上一动点，以点C为旋转中心，则PQ最小值为（ ）
A．B．2C．D．
8．（4分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1（ ）
A．4B．4C．2D．8
9．（4分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）（a，b），则代数式的值为 ．
13．（5分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝ ．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P是对角线AC上一动点，若以点P，A，则△PAB的面积是
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
15．（10分）计算：（﹣2020）0+|﹣|•sin45°﹣（）﹣2．
16．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．
（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．
（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
17．（10分）光伏发电惠民生，现有某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，已知某月（按30天计）共发电550度．
（1）求这个月晴天的天数；
（2）根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以每度0.45元卖给电力公司，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．
18．（10分）观察以下等式：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
19．（10分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
20．（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点上一点，连接AE并延长至点C，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF•DB．
21．（10分）遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
课外劳动时间频数分布表：
解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝ ，m＝ ；将频数分布直方图补充完整；
（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
（3）已知课外劳动时间在60h≤t＜80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，求点M的坐标；若不存在
23．（10分）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A
（1）求证：DM＝DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②；
（3）在图②中，（2）的基础上，取CE上一点H，若BG＝1，求EH的长．
2020-2021学年安徽省合肥市包河区中国科大附中九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列实数中最小的数是（ ）
A．2B．﹣5C．3D．π
【分析】通过正数＞负数且绝对值大的负数反而小进行判断．
【解答】解：∵π＞3＞2＞﹣4，
故选：B．
2．（4分）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形
故选：B．
3．（4分）安徽省的陆地面积为139400km2，139400用科学记数法可表示为（ ）
A．1394×102B．1.394×104C．1.394×105D．13.94×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将139400用科学记数法表示为：1.394×105．
故选：C．
4．（4分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1＜b+1D．ma＞mb
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，即a﹣1＜b﹣4，故此选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，即﹣2a＞﹣2b，故此选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以，即a＜ba＜，不等号的方向不变，即b+6，故此选项不符合题意；
D、在不等式a＜b的两边同时乘以m，即ma＞mb，或ma＝mb，故此选项符合题意．
故选：D．
5．（4分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1（ ）
A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5
【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，8，3，4，4，5，5，2，
这组数据的中位数为4；众数为5．
故选：A．
6．（4分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x3+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+4向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）4+3；
故选：D．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是AB上一动点，以点C为旋转中心，则PQ最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【分析】由旋转的性质可得PC＝CQ，∠PCQ＝90°，由勾股定理可得PQ2＝PC2+CQ2＝2PC2，即PC⊥AB时，PQ有最小值，由等腰直角三角形的性质可求PQ的最小值．
【解答】解：∵将△ACP顺时针旋转到△BCQ的位置，
∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°
∴PQ2＝PC2+CQ2＝2PC2，
∴当PC最小时，PQ有最小值
即PC⊥AB时，PQ有最小值，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴AB＝2，且PC⊥AB
∴PC＝
∴PQ的最小值为2
故选：B．
8．（4分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1（ ）
A．4B．4C．2D．8
【分析】由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．
【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴DE∥AB，
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，
∵DE＝1，AB＝2，
∴S△DEC：S△ACB＝7：4，
∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：6，
∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×6×2+，
∴S△ACB＝4，
故选：B．
9．（4分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对
【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣2）2+7，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为7，
∴甲、乙的说法正确；
若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有7个，
∴丙的说法不正确；
故选：C．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD＝BD＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°＝x，
∴CE＝AC﹣AE＝2﹣x，
∵四边形CEPF的面积为y，
y＝PE•CE
＝x（2﹣
＝﹣x2+3x
＝﹣（x﹣4）2+2，
∴当6＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x＜4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD＝2，PD＝x﹣2，
∴CP＝8﹣x，
y＝（8﹣x）2＝（x﹣4）2．
∴当8≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣3且x≠2 ．
【分析】当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
【解答】解：由题可得，，
解得，
∴自变量x的取值范围是x≥﹣3且x≠2，
故答案为：x≥﹣8且x≠2．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）（a，b），则代数式的值为 ﹣ ．
【分析】由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则ab＝﹣4，b＝a﹣1，进而求解．
【解答】解：函数y＝（x＞0）与y＝x﹣6的图象交于点P（a，
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴b﹣a＝﹣4，
∴＝＝﹣．
故答案为﹣．
13．（5分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝ ．
【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝＝2x，于是得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC＝＝，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB＝＝＝3x，
∴OB＝AB＝x，
∴tan∠BOC＝＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P是对角线AC上一动点，若以点P，A，则△PAB的面积是 或
【分析】分两种情况：①当AB＝AP时，如图1所示，以AB为底，过点P作PE⊥AB，根据相似或三角函数计算出PE值即可求面积；②当AB＝PB时，如图2所示，以AP为底，过B点作BH⊥AP，利用三角函数计算出BH值即可计算三角形面积．
【解答】解：分两种情况：
①当AB＝AP时，如图1所示，
sin∠PAE＝，即．
解得PE＝．
所以△PAB的面积为×AB×PE＝；
②当AB＝PB时，如图6所示．
sin∠HPB＝＝sin∠BAP＝，即，
解得：BH＝．
HP＝BPcs∠HPB＝3×＝，
所以AP＝2HP＝．
所以△PAB的面积为×AP×BH＝
故答案为或．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
15．（10分）计算：（﹣2020）0+|﹣|•sin45°﹣（）﹣2．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+×﹣4
＝8+1﹣4
＝﹣5．
16．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．
（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．
（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
【分析】（1）将△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1，如图所示；
（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，如图所示．
【解答】解：（1）根据题意画出图形，△A1B1C7为所求三角形；
（2）根据题意画出图形，△A2B2C5为所求三角形．
17．（10分）光伏发电惠民生，现有某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，已知某月（按30天计）共发电550度．
（1）求这个月晴天的天数；
（2）根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以每度0.45元卖给电力公司，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．
【分析】（1）设这个月有x天晴天，根据某月的发电量＝30×晴天的天数+5×（30﹣晴天的天数），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设需要y年才可以收回成本，根据总利润＝（每度电的价格+每度电的政府补贴金额）×每月用电后剩余部分×12×年数，结合总利润不少于4万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设这个月有x天晴天，
依题意得：30x+5（30﹣x）＝550，
解得：x＝16．
答：这个月有16天晴天．
（2）设需要y年才可以收回成本，
依题意得：（550﹣150）×（0.52+6.45）×12y≥40000，
解得：y≥8．
又∵y是整数，
∴y可取的最小值为9．
答：至少需要6年才能收回成本．
18．（10分）观察以下等式：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）依次观察每个等式，可以用发现规律：两数（序号数与比它大3的数）积的倒数，等于这两数倒数差的三分之一．按照此规律计算便可；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【解答】解：（1）由规律可知，，
故答案为：；
（2）由题意得，，
证明：右边＝＝左边，
∴．
故答案为：．
19．（10分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠CBM＝60°，即可求得∠CBG＝45°，BC＝40nmile，即可得到结论．
【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，
∴BM＝AM＝AB＝20，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmilenmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°nmile，
∴BC＝＝2BM＝40，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40．
20．（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点上一点，连接AE并延长至点C，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF•DB．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA＝90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE＝90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）通过证得△ADF∽△BDA，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠CBE＝∠BDE，∠BDE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠CBE，
∴∠EBA+∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵∠DAF＝∠DBE，
∴∠DAF＝∠ABD，
∵∠ADB＝∠ADF，
∴△ADF∽△BDA，
∴，
∴AD2＝DF•DB．
21．（10分）遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
课外劳动时间频数分布表：
解答下列问题：
（1）频数分布表中a＝ 5 ，m＝ 0.2 ；将频数分布直方图补充完整；
（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
（3）已知课外劳动时间在60h≤t＜80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛
【分析】（1）根据频数分布表所给数据即可求出a，m；进而可以补充完整频数分布直方图；
（2）根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
（3）根据题意画出用树状图即可求所选学生为1男1女的概率．
【解答】解：（1）a＝（2÷0.8）×0.25＝5，
m＝7÷20＝0.2，
补全的直方图如图所示：
故答案为：5，0.2；
（2）400×（6.25+0.15）＝160（人）；
答：估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数为160人；
（3）根据题意画出树状图，
由树状图可知：
共有20种等可能的情况，
1男5女有12种，
故所选学生为1男1女的概率为：
P＝＝．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，求点M的坐标；若不存在
【分析】（1）利用待定系数法将A，B两点的坐标代入解析式中，解方程组即可求得；
（2）根据题意画出符合题意的图形，设出点M的坐标，依据解析式得出点N的坐标，利用M，N的坐标表示出线段MN，CE的长度，利用平行四边形的对边相等得到CE＝MN，解方程即可求得M的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（6，﹣3），0）两点，
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝x8﹣2x﹣3．
∵直线y＝kx+b经过A（7，﹣3），0）两点，
∴．
解得：．
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3．
（2）存在．
∵y＝x7﹣2x﹣3＝（x﹣8）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（5，﹣4）．
∵CE∥y轴，E在直线y＝x﹣3上，
∴E（3，﹣2）．
∴CE＝2．
①如图4，连接CN，
若点M在x轴的下方，四边形CEMN为平行四边形．
设M（a，a﹣3），a2﹣4a﹣3）．
∴MN＝（a﹣3）﹣（a8﹣2a﹣3）＝﹣a3+3a．
∴﹣a2+5a＝2．
解得：a＝2或a＝6（舍去）．
∴M（2，﹣1）．
②如图8，连接EN，MN，
若点M 在x轴的上方，四边形CENM为平行四边形．
设M（a，a﹣3），a2﹣6a﹣3）．
∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a6﹣3a．
∴a2﹣5a＝2．
解得：a＝（负值舍去）．
∴a＝．
∴M（，）．
综上，M点的坐标为（2，）．
23．（10分）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A
（1）求证：DM＝DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②；
（3）在图②中，（2）的基础上，取CE上一点H，若BG＝1，求EH的长．
【分析】（1）证明∠A＝∠DMA，用等角对等边即可证明结论；
（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE＝∠A，∠DEG＝∠C，又∠A＝∠AFE，∠AFE＝∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC＝∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；
（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE＝EH•EC，又BE＝EC，所以EH＝BG＝1．
【解答】（1）证明：如图1所示，
∵DM∥EF，
∴∠AMD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠A，
∴∠AMD＝∠A，
∴DM＝DA；
（2）证明：如图2所示，
∵D、E分别是AB，
∴DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠DEG＝∠C，
∵∠AFE＝∠A，
∴∠BDE＝∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE＝∠C+∠FEC，
∵∠BDG＝∠C，
∴∠GDE＝∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
（3）解：如图5所示，
∵∠BDG＝∠C＝∠DEB，∠B＝∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴，
∴BD2＝BG•BE，
∵∠AFE＝∠A，∠CFH＝∠B，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣∠AFE﹣∠CFH＝∠EFH，
又∵∠FEH＝∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴，
∴EF2＝EH•EC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF＝DM＝DA＝BD，
∴BG•BE＝EH•EC，
∵BE＝EC，
∴EH＝BG＝4．
劳动时间分组
频数
频率
0≤t＜20
2
0.1
20≤t＜40
4
m
40≤t＜60
6
0.3
60≤t＜80
a
0.25
80≤t＜100
3
0.15
劳动时间分组
频数
频率
0≤t＜20
2
0.1
20≤t＜40
4
m
40≤t＜60
6
0.3
60≤t＜80
a
0.25
80≤t＜100
3
0.15