高中数学3.3 幂函数教学设计

这是一份高中数学3.3 幂函数教学设计，共15页。

[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，eq \f(1,2)，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．
[重点] 幂函数的定义、图象和性质．
[难点] 利用幂函数的性质解决有关问题．
知识点一幂函数的概念
[填一填]
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
[答一答]
1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是幂函数吗？
提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．
知识点二幂函数的图象
[填一填]
五种常见幂函数的图象
幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象如下图．
[答一答]
2．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？
提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.
(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝.
(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如.
3．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？
提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．
知识点三幂函数的性质
[填一填]
五类幂函数的性质
[答一答]
4．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？
提示：α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；
α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．
类型一幂函数的概念
[例1] 下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为( B )
A．1B．2
C．3D．4
[解析] ②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
幂函数解析式的结构特征：1解析式是单项式；2幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.
[变式训练1] (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α＝( C )
A.eq \f(1,2)B．1
C.eq \f(3,2)D．2
(2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝－3或1.
解析：(1)由幂函数定义知k＝1，把eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))代入y＝xα得α＝eq \f(1,2)，∴k＋α＝eq \f(3,2).选C.
(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))
解得m＝－3或1，n＝eq \f(3,2).
类型二幂函数的图象
[例2] 下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(B )
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
[解析] 由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．
[变式训练2]幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有( D )
A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤
解析：∵x－eq \r(x)＝eq \r(x)(eq \r(x)－1)，当0∴幂函数的图象经过区域①；当x>1时，x－eq \r(x)>0，即x>eq \r(x)>1，∴幂函数的图象经过区域⑤.
类型三幂函数的性质应用
[例3] 比较下列各组中三个数的大小．
[分析] 本题考查幂函数．
比较幂值大小的方法
[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：
1.下列所给出的函数中，是幂函数的是( B )
A．y＝－x3B．y＝x－3
C．y＝2x3D．y＝x3－1
2.如果幂函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，那么feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))的值为( D )
A.eq \f(1,2)B．2
C．1D．4
解析：设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，∴eq \f(1,2)＝4α，解得α＝－eq \f(1,2).∴f(x)＝＝4.
3.函数的图象是( B )
解析：∵函数是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x>1,0<α<1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C，选B.
4.幂函数在[－4，－2]上的最小值为__－eq \f(1,2)__.
.解析：∵在(－∞，0)上单调递减，∴在[－4，－2]上递减，∴在[－4，－2]上的最小值是－eq \f(1,2).
5．比较下列各题中两个幂的值的大小：
——本课须掌握的三大问题
1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
幂函数 课时作业
(15分钟 30分)
1.下列结论正确的是( )
A.幂函数图象一定过原点
B.当α<0时，幂函数y=xα是减函数
C.当α>1时，幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数
【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-1在(-∞，0)及(0，+∞)上是减函数，故B不正确；函数y=x2在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故C不正确.
2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点12,2，则k+α等于( )
A.12B.1C.32D.2
【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点12,2，所以k=1，f12=12α=2，
即α=-12，所以k+α=12.
3.在下列四个图形中，y=x-12的图象大致是( )
【解析】选D.函数y=x-12的定义域为(0，+∞)，是减函数.
4.幂函数的图象过点(3，3)，则它的单调递增区间是( )
A.[-1，+∞)B.[0，+∞)
C.(-∞，+∞)D.(-∞，0)
【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3，3)，所以f(3)=3α=3=312，解得α=12，所以f(x)=x12，所以幂函数的单调递增区间为
[0，+∞).
5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内( )
A.为增函数B.为减函数
C.有最小值D.有最大值
【解析】选C.因为幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，
所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，
所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.
【补偿训练】
已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_______.
【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y=xα在(0，+∞)上为减函数，故α<0.
答案：(-∞，0)
6.已知幂函数f(x)=x-m2-2m+3(-2①在区间(0，+∞)上单调递增；
②对任意的x∈R，都有f(-x)-f(x)=0.
求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈0,4时，f(x)的值域.
【解析】因为函数在0,+∞上单调递增，
所以-m2-2m+3>0，解得：-3因为-2又因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，所以-m2-2m+3为偶数.
当m=-1时，-m2-2m+3=4满足题意，
当m=0时，-m2-2m+3=3不满足题意，
所以f(x)=x4，所以f(x)在0,4上递增，
所以f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(4)=256，
所以值域是0,256.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分，共15分)
1.(2020·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)xm2-3m+1是幂函数且为奇函
数，则m的值为( )
A.2B.3C.4D.2或4
【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)xm2-3m+1为幂函数，所以m2-6m+9=1，所以m=2或m=4，当m=4时，f(x)=x5是奇函数，满足题意，当m=2时，f(x)=x-1是奇函数，满足题意；所以m=2或4.
2.下列命题中，不正确的是( )
A.幂函数y=x-1是奇函数
B.幂函数y=x2是偶函数
C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D.y=x12既不是奇函数，又不是偶函数
【解析】选C.因为x-1=1x，1-x=-1x，
所以A正确；
(-x)2=x2，所以B正确；-x=x不恒成立，所以C不正确；y=x12定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.
3.给出幂函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=x；⑤f(x)=1x.其中满足条件
f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解题指南】解决该题的关键是正确理解
fx1+x22>f(x1)+f(x2)2(x1>x2>0)的含义.
【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，
fx1+x22=f(x1)+f(x2)2；
②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，fx1+x22③在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，
fx1+x22④函数f(x)=x的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，fx1+x22>f(x1)+f(x2)2；
⑤在第一象限，函数f(x)=1x的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，
fx1+x22故仅有函数f(x)=x满足当x1>x2>0时，
fx1+x22>f(x1)+f(x2)2.
二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是( )
A.y=x13B.y=x-12C.y=x53D.y=x23
【解析】选A、B、C.A中y=x13=3x，定义域、值域都为R；B中y=x-12=1x定义域与值域都为(0，+∞)；C中y=x53的定义域、值域也为R；D中y=x23=3x2定义域为R，而值域为[0，+∞).
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.
【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2中，
令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，
解得m=2或m=-1；
当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=x-2，
在(0，+∞)上单调递减，满足题意；
当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，
在(0，+∞)上单调递增，不满足题意；所以实数m=2.
答案：2
6.已知幂函数f(x)=x-m2-2m+3(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)的值为_______.
【解析】因为幂函数f(x)=x-m2-2m+3(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则指数是偶数且大于0，因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4，
因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，所以m=-1，即f(x)=x4.
所以f(2)=24=16.
答案：16
四、解答题
7.(10分)已知幂函数f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*)经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
【解析】因为幂函数f(x)经过点(2，2)，
所以2=2(m2+m)-1，即212=2(m2+m)-1.所以m2+m=2.
解得m=1或m=-2.又因为m∈N*，所以m=1.
所以f(x)=x12，则函数的定义域为[0，+∞)，并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1)，
得2-a≥0,a-1≥0,2-a>a-1,解得1≤a<32.
所以a的取值范围为1,32.分类
比较对象
方法
指数相同，底数不同
与
利用幂函数的单调性
底数相同，指数不同
与
利用不等式性质
底数、指数都不同
与
寻找“中间量”或或或等