2020-2021学年1.1命题及其关系学案设计

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1．1．1 命题
1．命题的概念与分类
(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
命题eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(真命题：判断为真的语句.,假命题：判断为假的语句.))
思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．
(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．
2．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
思考2：(1)如何确定命题的条件与结论？
(2)语句“x≥0”是真命题吗？
[提示] (1)命题中已知的事项为条件，由已知推出的事项为结论．
(2)不是，由于不知道x的范围，所以无法判断真假．
1．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2021央视牛年春晚真精彩啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
A [①②③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④⑤不是命题．]
2．下列命题中，真命题共有( )
①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A [①②④是假命题，③是真命题．]
3．命题“不等式eq \f(x＋1,x－2)＜0与(x＋1)(x－2)＜0同解”是________命题．(填“真”或“假”)
真 [不等式eq \f(x＋1,x－2)＜0与(x＋1)(x－2)＜0的解集都是{x|－1＜x＜2}，所以是真命题．]
4．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的条件p是________，结论q是________，是________命题．(填“真”或“假”)
[答案] 若一个函数是偶函数 函数的图象关于y轴对称 真
【例1】 (1)下列语句为命题的是( )
A．x2－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________．(填序号)
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′．
(1)B (2)①④ [(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]
判断一个语句是否是命题的两个关键点
1命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
2对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题．
eq \O([跟进训练])
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)三角形的三个内角的和等于360°；
(2)a＋b＝4；
(3)2016年奥运会的举办城市是巴西的里约热内卢；
(4)这是一棵大树；
(5)你是高二的学生吗？
(6)求证：eq \r(2)是无理数；
(7)并非所有的人都喜欢数学；
(8)x2＋1>0．
[解] (1)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题．
(2)由于变量a，b的值不确定，无法判断其真假，因此不是命题．
(3)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题．
(4)“大树”的标准不确定，无法判断其真假，因此不是命题．
(5)这是疑问句，不是命题．
(6)这是祈使句，不是命题．
(7)可以判断为真，人群中有的人喜欢数学，也存在着不喜欢数学的人，因此是命题．
(8)虽然变量x的值不确定，但可以判断其真假，因此是命题．
【例2】 (1)命题“周长相等的三角形面积相等”的条件为________，结论为________．
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
①函数y＝lg x在其定义域上是单调函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0．
思路探究：解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．
(1)两个三角形周长相等 这两个三角形面积相等 [命题“周长相等的三角形面积相等”的条件是“两个三角形周长相等”，结论是“这两个三角形面积相等”，所以命题可以写成“若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等”．]
(2)解：①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数在(0，＋∞)上是单调函数，真命题；
②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；
③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．
1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如本例(2)②．
2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．
eq \O([跟进训练])
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；
(2)斜率相等的两条直线平行；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(4)钝角的余弦值是负数．
[解] (1)若一个整数的各位数数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．
(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．
(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．
(4)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数．
[探究问题]
1．如何判断一个命题是真命题？
[提示] 根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性．
2．如何判断一个命题是假命题？
[提示] 举出一个反例即可．
【例3】 (1)下列命题是真命题的是( )
A．已知a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则a＋b≠c＋d
B．若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根
C．空集是任何集合的真子集
D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行
(2)给出下列几个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)下列命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若sin A＝sin B，则A＝B；
③若f(x)＝lg2x，则f(|x|)是偶函数．
其中真命题的序号是________．
思路探究：
(1)B (2)C (3)①③ [(1)A．假命题．反例：1≠4或5≠2，而1＋5＝4＋2．
B．真命题．因为m>1⇒Δ＝4－4m<0⇒方程x2－2x＋m＝0无实数根．
C．假命题．空集是任何非空集合的真子集．
D．假命题．反例：有可能互相垂直，如墙角．
(2)①是假命题，垂直于同一条直线的两条直线也可能垂直、异面；②是真命题；③是假命题，若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2相交、平行或异面；④是假命题，若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线也可能相交．
(3)①中，因为ac2>bc2，所以c≠0，
所以c2>0，所以a>b，故①是真命题；
②中，由三角函数的周期性可知，②是假命题；
③中，因为f(x)＝lg2x，所以f(|x|)＝lg2|x|，是偶函数，故③是真命题．]
1．(变结论)本例(2)中命题②变为“垂直于同一平面的两条直线互相平行”是真命题吗？
[解] 是真命题，依据线线平行的判定可知垂直于同一平面的两条直线互相平行．
2．(变结论)本例(3)中命题②变为“在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B”是真命题吗？
[解] 是真命题，在[0,2π]内，由sin A＝sin B可得A＝B或A＋B＝π，但是在△ABC中A＋B＝π不成立，所以A＝B．
1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，且必居其一．
2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．
1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．准确判断命题的条件与结论的关键是把命题改写为“若p，则q”形式．
1．给出下列语句：
①三角函数难道不是函数吗？
②和为有理数的两个数均为有理数．
③一条直线与一个平面不是平行就是相交．
④作△A′B′C′与△ABC全等．
⑤这是一棵小树．
⑥求证eq \r(3)是无理数．
⑦二次函数的图象太美啦！
⑧4是集合{1,2,3,4}中的元素．
其中命题的个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．7
A [命题是指可以判断真假的陈述句，所以②③⑧是命题；①是反问句，不是命题；④⑥是祈使句，不是命题；⑤“小树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；⑦是感叹句，不是命题．]
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
C [把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C．]
3．下列命题是真命题的为( )
A．若a>b，则eq \f(1,a)C．若|x|C [对于A，若a＝1，b＝－2，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故A是假命题．
对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．
对于C，因为y>|x|≥0，则x2对于D，当a＝b＝－2时，eq \r(a)与eq \r(b)没有意义，故D是假命题．]
4．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，0)∪(0,1) [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0，,Δ＝4－4a>0，))解得a<1，且a≠0．]
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解命题的概念．(难点)
2．理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．(重点)
3．能判断一些简单命题的真假．(难点、易错点)
1．通过命题的概念及其构成形式的学习，培养学生的数学抽象核心素养．
2．通过命题的真假判断，培养学生的逻辑推理核心素养．
命题的判断
命题的构成
命题的真假判断