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数学选修2-13.1空间向量及其运算导学案
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这是一份数学选修2-13.1空间向量及其运算导学案，共13页。
1．空间向量的夹角
(1)夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，两向量垂直，记作a⊥b．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
(3)空间两向量的数量积的性质：
思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？
(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？
[提示] (1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0．
(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为( )
①eq \r(a·a)＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a．
A．0 B．3
C．2 D．1
D [命题①②③正确，④不正确．]
2．已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，eq \(AA′,\s\up7(→))＝c，则〈eq \(A′B,\s\up7(→))，eq \(B′D′,\s\up7(→))〉等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D [△B′D′C是等边三角形，〈eq \(A′B,\s\up7(→))，eq \(B′D′,\s\up7(→))〉＝〈eq \(D′C,\s\up7(→))，eq \(B′D′,\s\up7(→))〉＝120°．]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
eq \f(2,3)π [cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－3,3×2)＝－eq \f(1,2)．
所以〈a，b〉＝eq \f(2,3)π．]
4．在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|＝________．
eq \r(97) [eq \(AC′,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AA′,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，
eq \(AC′,\s\up7(→))2＝eq \(AB,\s\up7(→))2＋eq \(AA′,\s\up7(→))2＋eq \(AD,\s\up7(→))2＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AA′,\s\up7(→))＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＋2eq \(AA′,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))
＝42＋52＋32＋2×4×5×cs 60°＋2×4×3×cs 60°＋2×5×3×cs 60°
＝16＋25＋9＋20＋12＋15＝97，
∴|AC′|＝eq \r(97)．]
【例1】 (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
①eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))；
②eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))；
③eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))；
④eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))．
(1)A [由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1．]
(2)解：①eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up7(→))||eq \(BA,\s\up7(→))|cs〈eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(BA,\s\up7(→))〉
＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4)．
②eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝eq \f(1,2)．
③EF·eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)×cs 60°＝－eq \f(1,4)．
④eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))·(eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))
＝|eq \(AB,\s\up7(→))||eq \(AD,\s\up7(→))|cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))〉－|eq \(AB,\s\up7(→))||eq \(AC,\s\up7(→))|cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉＝cs 60°－cs 60°＝0．
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.
4代入公式a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解.
eq \O([跟进训练])
1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(AF,\s\up7(→))＝________．
eq \f(1,4)a2 [eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))＋\(AC,\s\up7(→))))·eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))
＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→)))＝eq \f(1,4)(a2cs 60°＋a2cs 60°)＝eq \f(1,4)a2．]
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq \(OG,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝________．
eq \f(14,3) [eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)[(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＋(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))]
＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))．
∴eq \(OG,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(OB,\s\up7(→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up7(→))＋\f(1,3)\(OA,\s\up7(→))))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))2＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))2＋eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))2
＝eq \f(1,3)×22＋eq \f(1,3)×32＋eq \f(1,3)×12＝eq \f(14,3)．]
【例2】 (1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为________．
(2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．
(1)6 [由a⊥b，得a·b＝0，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6．]
(2)解：连接OG(图略)，设eq \(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq \(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq \(A1A,\s\up7(→))＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|．
因为eq \(A1O,\s\up7(→))＝eq \(A1A,\s\up7(→))＋eq \(AO,\s\up7(→))
＝eq \(A1A,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝b－a，
eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(CG,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c．
所以eq \(A1O,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))·(b－a)＝0，
eq \(A1O,\s\up7(→))·eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b－\f(1,2)c))＝0，
所以eq \(A1O,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(A1O,\s\up7(→))⊥eq \(OG,\s\up7(→))，即A1O⊥BD，A1O⊥OG，
又BD∩OG＝O，所以A1O⊥平面GBD．
用向量法证明垂直关系的步骤
1把几何问题转化为向量问题.
2用已知向量表示所证向量.
3结合数量积公式和运算律证明数量积为0.
4将向量问题回归到几何问题.
eq \O([跟进训练])
2．已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN．
[证明] 如图，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c，
又P，M分别为OA，BC的中点，
∴eq \(PM,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OP,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)(b＋c)－eq \f(1,2)a
＝eq \f(1,2)[(b－a)＋c]．
同理，eq \(QN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(a＋c)－eq \f(1,2)b
＝－eq \f(1,2)[(b－a)－c]．
∴eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(QN,\s\up7(→))＝－eq \f(1,4)(|b－a|2－|c|2)．
又AB＝OC，即|b－a|＝|c|，
∴eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(QN,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(PM,\s\up7(→))⊥eq \(QN,\s\up7(→))，即PM⊥QN．
【例3】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．
思路探究：求异面直线OA与BC所成的角，首先来求eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．
[解] ∵eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))，∴eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝|eq \(OA,\s\up7(→))|·|eq \(AC,\s\up7(→))|·cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉－|eq \(OA,\s\up7(→))|·|eq \(AB,\s\up7(→))|·
cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))〉＝8×4×cs 135°－8×6×cs 120°
＝24－16eq \r(2)．
∴cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up7(→))·\(BC,\s\up7(→)),|\(OA,\s\up7(→))|·|\(BC,\s\up7(→))|)＝eq \f(24－16\r(2),8×5)＝eq \f(3－2\r(2),5)，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为eq \f(3－2\r(2),5)．
利用向量数量积求夹角问题的思路
1求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cs〈a·b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)求cs〈a，b〉，最后确定〈a，b〉.
2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量即直线的方向向量；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小.
eq \O([跟进训练])
3．如图，已知直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设eq \(CA,\s\up7(→))＝a，eq \(CB,\s\up7(→))＝b，eq \(CC′,\s\up7(→))＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0．
∴eq \(CE,\s\up7(→))＝b＋eq \f(1,2)c，eq \(A′D,\s\up7(→))＝－c＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a．
∴eq \(CE,\s\up7(→))·eq \(A′D,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)b2＝0，
∴eq \(CE,\s\up7(→))⊥eq \(A′D,\s\up7(→))，即CE⊥A′D．
(2)∵eq \(AC′,\s\up7(→))＝－a＋c，∴|eq \(AC′,\s\up7(→))|＝eq \r(2)|a|，|eq \(CE,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(5),2)|a|，
∵eq \(AC′,\s\up7(→))·eq \(CE,\s\up7(→))＝(－a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)c))＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)|a|2，
∴cs〈eq \(AC′,\s\up7(→))，eq \(CE,\s\up7(→))〉＝eq \f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq \f(\r(10),10)．
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10)．
[探究问题]
1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉的值是多少？
[提示] 〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝60°或120°．
2．如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．
[提示] ∵eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))，∴|eq \(AD,\s\up7(→))|2＝(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→)))2＝|eq \(AB,\s\up7(→))|2＋|eq \(BC,\s\up7(→))|2＋|eq \(CD,\s\up7(→))|2＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＋2eq \(AB,\s\up7(→))·CD＋2eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝12＋2(2·2·cs 90°＋2·2·cs 120°＋2·2·cs 90°)＝8，
∴|eq \(AD,\s\up7(→))|＝2eq \r(2)，即A，D两点间的距离为2eq \r(2)．
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
思路探究：eq \x(\(BD,\s\up7(→))＝\(BA,\s\up7(→))＋\(AC,\s\up7(→))＋\(CD,\s\up7(→)))→
[解] ∵∠ACD＝90°，∴eq \(AC,\s\up7(→))·CD＝0，同理可得eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))＝0．∵AB与CD成60°角，∴〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝60°或〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝120°．又eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))，∴|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝|eq \(BA,\s\up7(→))|2＋|eq \(AC,\s\up7(→))|2＋|eq \(CD,\s\up7(→))|2＋2eq \(BA,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＋2eq \(BA,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＋2eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝3＋2×1×1×cs〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉．
∴当〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝60°时，|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝120°时，|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝2，此时B，D间的距离为eq \r(2)．
1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．
2．用数量积求两点间距离的步骤：
(1)用向量表示此距离；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；
(4)|a|即为所求距离．
eq \O([跟进训练])
4．如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
[解] eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(EA,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)[(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＋(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))]
＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up7(→))，
所以eq \(EF2,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up7(→))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＋2×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝2．
∴|eq \(EF,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，即E，F间的距离为eq \r(2)．
1．空间向量数量积运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cs〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝1．]
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))〉的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(1,2) D．0
D [eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝|eq \(OA,\s\up7(→))||eq \(OC,\s\up7(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up7(→))||eq \(OB,\s\up7(→))|cs∠AOB＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up7(→))||eq \(OC,\s\up7(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up7(→))||Oeq \(B,\s\up7(→))|＝0，
∴eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))，∴cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))〉＝0．]
3．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________．
eq \r(5) [∵(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝6－1＋2－2＝5，
∴|a－b＋2c|＝eq \r(5)．]
4．正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
[解] 如图所示，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(→))＝c．由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°．
因为eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(EA,\s\up7(→))＋eq \(AA1,\s\up7(→))＋eq \(A1F,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AA1,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，
所以EF2＝|eq \(EF,\s\up7(→))|2＝eq \(EF,\s\up7(→))2＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋c2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a·\f(1,2)b＋\f(1,2)b·c－\f(1,2)a·c))
＝eq \f(1,4)×22＋eq \f(1,4)×22＋22＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×2×2cs 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝eq \r(5)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)
3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
1．通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．
2．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养．
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
垂直
若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
共线
同向：则a·b＝|a|·|b|
反向：则a·b＝－|a|·|b|
向量数量积的性质
模
a· a＝|a||a|cs〈a，a〉＝|a|2
|a|＝eq \r(a·a)
|a·b|≤|a|·|b|
夹角
θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
空间向量的数量积运算
利用数量积证明空间的垂直关系
利用数量积求夹角
利用数量积求距离
1．空间向量的夹角
(1)夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，两向量垂直，记作a⊥b．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
(3)空间两向量的数量积的性质：
思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？
(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？
[提示] (1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0．
(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为( )
①eq \r(a·a)＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a．
A．0 B．3
C．2 D．1
D [命题①②③正确，④不正确．]
2．已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，eq \(AA′,\s\up7(→))＝c，则〈eq \(A′B,\s\up7(→))，eq \(B′D′,\s\up7(→))〉等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D [△B′D′C是等边三角形，〈eq \(A′B,\s\up7(→))，eq \(B′D′,\s\up7(→))〉＝〈eq \(D′C,\s\up7(→))，eq \(B′D′,\s\up7(→))〉＝120°．]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
eq \f(2,3)π [cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－3,3×2)＝－eq \f(1,2)．
所以〈a，b〉＝eq \f(2,3)π．]
4．在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|＝________．
eq \r(97) [eq \(AC′,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AA′,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，
eq \(AC′,\s\up7(→))2＝eq \(AB,\s\up7(→))2＋eq \(AA′,\s\up7(→))2＋eq \(AD,\s\up7(→))2＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AA′,\s\up7(→))＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＋2eq \(AA′,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))
＝42＋52＋32＋2×4×5×cs 60°＋2×4×3×cs 60°＋2×5×3×cs 60°
＝16＋25＋9＋20＋12＋15＝97，
∴|AC′|＝eq \r(97)．]
【例1】 (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
①eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))；
②eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))；
③eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))；
④eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))．
(1)A [由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1．]
(2)解：①eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up7(→))||eq \(BA,\s\up7(→))|cs〈eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(BA,\s\up7(→))〉
＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4)．
②eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝eq \f(1,2)．
③EF·eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)×cs 60°＝－eq \f(1,4)．
④eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))·(eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))
＝|eq \(AB,\s\up7(→))||eq \(AD,\s\up7(→))|cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))〉－|eq \(AB,\s\up7(→))||eq \(AC,\s\up7(→))|cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉＝cs 60°－cs 60°＝0．
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.
4代入公式a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解.
eq \O([跟进训练])
1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(AF,\s\up7(→))＝________．
eq \f(1,4)a2 [eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))＋\(AC,\s\up7(→))))·eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))
＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→)))＝eq \f(1,4)(a2cs 60°＋a2cs 60°)＝eq \f(1,4)a2．]
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq \(OG,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝________．
eq \f(14,3) [eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)[(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＋(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))]
＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))．
∴eq \(OG,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(OB,\s\up7(→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up7(→))＋\f(1,3)\(OA,\s\up7(→))))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))2＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))2＋eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))2
＝eq \f(1,3)×22＋eq \f(1,3)×32＋eq \f(1,3)×12＝eq \f(14,3)．]
【例2】 (1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为________．
(2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．
(1)6 [由a⊥b，得a·b＝0，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6．]
(2)解：连接OG(图略)，设eq \(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq \(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq \(A1A,\s\up7(→))＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|．
因为eq \(A1O,\s\up7(→))＝eq \(A1A,\s\up7(→))＋eq \(AO,\s\up7(→))
＝eq \(A1A,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝b－a，
eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(CG,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c．
所以eq \(A1O,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))·(b－a)＝0，
eq \(A1O,\s\up7(→))·eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b－\f(1,2)c))＝0，
所以eq \(A1O,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(A1O,\s\up7(→))⊥eq \(OG,\s\up7(→))，即A1O⊥BD，A1O⊥OG，
又BD∩OG＝O，所以A1O⊥平面GBD．
用向量法证明垂直关系的步骤
1把几何问题转化为向量问题.
2用已知向量表示所证向量.
3结合数量积公式和运算律证明数量积为0.
4将向量问题回归到几何问题.
eq \O([跟进训练])
2．已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN．
[证明] 如图，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c，
又P，M分别为OA，BC的中点，
∴eq \(PM,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OP,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)(b＋c)－eq \f(1,2)a
＝eq \f(1,2)[(b－a)＋c]．
同理，eq \(QN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(a＋c)－eq \f(1,2)b
＝－eq \f(1,2)[(b－a)－c]．
∴eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(QN,\s\up7(→))＝－eq \f(1,4)(|b－a|2－|c|2)．
又AB＝OC，即|b－a|＝|c|，
∴eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(QN,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(PM,\s\up7(→))⊥eq \(QN,\s\up7(→))，即PM⊥QN．
【例3】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．
思路探究：求异面直线OA与BC所成的角，首先来求eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．
[解] ∵eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))，∴eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝|eq \(OA,\s\up7(→))|·|eq \(AC,\s\up7(→))|·cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉－|eq \(OA,\s\up7(→))|·|eq \(AB,\s\up7(→))|·
cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))〉＝8×4×cs 135°－8×6×cs 120°
＝24－16eq \r(2)．
∴cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up7(→))·\(BC,\s\up7(→)),|\(OA,\s\up7(→))|·|\(BC,\s\up7(→))|)＝eq \f(24－16\r(2),8×5)＝eq \f(3－2\r(2),5)，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为eq \f(3－2\r(2),5)．
利用向量数量积求夹角问题的思路
1求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cs〈a·b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)求cs〈a，b〉，最后确定〈a，b〉.
2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量即直线的方向向量；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小.
eq \O([跟进训练])
3．如图，已知直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设eq \(CA,\s\up7(→))＝a，eq \(CB,\s\up7(→))＝b，eq \(CC′,\s\up7(→))＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0．
∴eq \(CE,\s\up7(→))＝b＋eq \f(1,2)c，eq \(A′D,\s\up7(→))＝－c＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a．
∴eq \(CE,\s\up7(→))·eq \(A′D,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)b2＝0，
∴eq \(CE,\s\up7(→))⊥eq \(A′D,\s\up7(→))，即CE⊥A′D．
(2)∵eq \(AC′,\s\up7(→))＝－a＋c，∴|eq \(AC′,\s\up7(→))|＝eq \r(2)|a|，|eq \(CE,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(5),2)|a|，
∵eq \(AC′,\s\up7(→))·eq \(CE,\s\up7(→))＝(－a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)c))＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)|a|2，
∴cs〈eq \(AC′,\s\up7(→))，eq \(CE,\s\up7(→))〉＝eq \f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq \f(\r(10),10)．
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10)．
[探究问题]
1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉的值是多少？
[提示] 〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝60°或120°．
2．如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．
[提示] ∵eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))，∴|eq \(AD,\s\up7(→))|2＝(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→)))2＝|eq \(AB,\s\up7(→))|2＋|eq \(BC,\s\up7(→))|2＋|eq \(CD,\s\up7(→))|2＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＋2eq \(AB,\s\up7(→))·CD＋2eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝12＋2(2·2·cs 90°＋2·2·cs 120°＋2·2·cs 90°)＝8，
∴|eq \(AD,\s\up7(→))|＝2eq \r(2)，即A，D两点间的距离为2eq \r(2)．
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
思路探究：eq \x(\(BD,\s\up7(→))＝\(BA,\s\up7(→))＋\(AC,\s\up7(→))＋\(CD,\s\up7(→)))→
[解] ∵∠ACD＝90°，∴eq \(AC,\s\up7(→))·CD＝0，同理可得eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))＝0．∵AB与CD成60°角，∴〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝60°或〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝120°．又eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))，∴|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝|eq \(BA,\s\up7(→))|2＋|eq \(AC,\s\up7(→))|2＋|eq \(CD,\s\up7(→))|2＋2eq \(BA,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＋2eq \(BA,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＋2eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝3＋2×1×1×cs〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉．
∴当〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝60°时，|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝120°时，|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝2，此时B，D间的距离为eq \r(2)．
1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．
2．用数量积求两点间距离的步骤：
(1)用向量表示此距离；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；
(4)|a|即为所求距离．
eq \O([跟进训练])
4．如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
[解] eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(EA,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)[(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＋(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))]
＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up7(→))，
所以eq \(EF2,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up7(→))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＋2×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝2．
∴|eq \(EF,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，即E，F间的距离为eq \r(2)．
1．空间向量数量积运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cs〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝1．]
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))〉的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(1,2) D．0
D [eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝|eq \(OA,\s\up7(→))||eq \(OC,\s\up7(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up7(→))||eq \(OB,\s\up7(→))|cs∠AOB＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up7(→))||eq \(OC,\s\up7(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up7(→))||Oeq \(B,\s\up7(→))|＝0，
∴eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))，∴cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))〉＝0．]
3．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________．
eq \r(5) [∵(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝6－1＋2－2＝5，
∴|a－b＋2c|＝eq \r(5)．]
4．正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
[解] 如图所示，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(→))＝c．由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°．
因为eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(EA,\s\up7(→))＋eq \(AA1,\s\up7(→))＋eq \(A1F,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AA1,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，
所以EF2＝|eq \(EF,\s\up7(→))|2＝eq \(EF,\s\up7(→))2＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋c2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a·\f(1,2)b＋\f(1,2)b·c－\f(1,2)a·c))
＝eq \f(1,4)×22＋eq \f(1,4)×22＋22＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×2×2cs 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝eq \r(5)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)
3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
1．通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．
2．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养．
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
垂直
若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
共线
同向：则a·b＝|a|·|b|
反向：则a·b＝－|a|·|b|
向量数量积的性质
模
a· a＝|a||a|cs〈a，a〉＝|a|2
|a|＝eq \r(a·a)
|a·b|≤|a|·|b|
夹角
θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
空间向量的数量积运算
利用数量积证明空间的垂直关系
利用数量积求夹角
利用数量积求距离
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