数学必修 第一册3.3 幂函数导学案

这是一份数学必修 第一册3.3 幂函数导学案，共9页。


授课提示：对应学生用书第44页
[教材提炼]
知识点一 幂函数的定义
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
函数f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝eq \f(1,x)，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？
知识梳理 (1)一般地，函数y＝xα叫做幂函数(pwer functin)，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数解析式的结构特征
①指数为常数；
②底数是自变量，自变量的系数为1；
③幂xα的系数为1；
④只有1项．
知识点二 幂函数的图象和性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
函数y＝x，y＝x2、y＝eq \f(1,x)的图象在第一象限都过什么点？单调性如何？
知识梳理 常见幂函数
(1)y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝xeq \f(1,2)、y＝x－1的图象
(2)性质
[自主检测]
1．下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x3 B．y＝2x2－1
C．y＝eq \f(1,x) D．y＝eq \f(3,x2)
答案：C
2．已知幂函数y＝f(x)的图象过(4,2)点，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A.eq \r(2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),2)
答案：D
3．幂函数y＝xα(α∈R)恒过定点________．
答案：(1,1)
4．已知幂函数f(x)满足f(2)＝eq \f(1,2)，则f(x)＝________.
答案：eq \f(1,x)
授课提示：对应学生用书第45页
探究一 幂函数的概念
[例1] 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[解析] 由m2－m－1＝1得，
m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2＋m－3＝3，
f(x)＝x3符合要求，
当m＝－1，m2＋m－3＝－3＜0，
f(x)＝x－3在(0，＋∞)为减函数，不符合要求．
综上，f(x)＝x3.
判断幂函数的依据
形如y＝xα的函数叫幂函数，它具有三个特点：
(1)系数为1.
(2)指数为常数(也可以为0)．
(3)后面不加任何项．
若函数f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，则m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：幂函数是形如f(x)＝xα的函数，所以2m＋3＝1，∴m＝－1.
答案：A
探究二 幂函数的图象
[例2] 幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝xeq \f(1,3)，y＝x－eq \f(1,2)在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4
B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
[解析] 由于在第一象限内直线x＝1的右侧时，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，同理，y＝x－1在第一象限的图象为C4，y＝xeq \f(1,3)在第一象限内的图象为C2，y＝x－eq \f(1,2)在第一象限内的图象为C3，故选D.
[答案] D
幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.
已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则( )
A．m＞n＞p
B．m＞p＞n
C．n＞p＞m
D．p＞n＞m
答案：C
探究三 幂函数的性质
[例3] (1)求下列函数的定义域，并指出其奇偶性和单调性．
①y＝xeq \f(2,5)；②y＝xeq \f(3,4)；③y＝x－2；④y＝x－eq \f(3,4).
[解析] ①函数y＝xeq \f(2,5)，即y＝eq \r(5,x2)，其定义域为R；是偶函数；它在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数．
②函数y＝xeq \f(3,4)，即y＝eq \r(4,x3)，其定义域为[0，＋∞)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在[0，＋∞)上为增函数．
③函数y＝x－2，即y＝eq \f(1,x2)，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；是偶函数；它在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．
④函数y＝x－eq \f(3,4)，即y＝eq \f(1,\r(4,x3))，其定义域为(0，＋∞)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在(0，＋∞)上为减函数．
要类比常见幂函数的性质，利用其共性．对于单调性、奇偶性按一般函数的判断方法．
(2)比较幂值大小：
①3－eq \f(5,2)和3.1－eq \f(5,2)；
②－8－eq \f(7,8)和－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \f(7,8)；
③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \f(2,3)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－eq \f(2,3)；
④4.1eq \f(2,5)，3.8－eq \f(2,3)和(－1.9)eq \f(3,5).
[解析] ①函数y＝x－eq \f(5,2)在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，∴3－eq \f(5,2)>3.1－eq \f(5,2).
②－8－eq \f(7,8)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \f(7,8)，函数y＝xeq \f(7,8)在(0，＋∞)上为增函数，又eq \f(1,8)>eq \f(1,9)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \f(7,8)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \f(7,8)，
从而－8－eq \f(7,8)<－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \f(7,8).
③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－eq \f(2,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))－eq \f(2,3)，
函数y＝x－eq \f(2,3)在(0，＋∞)上为减函数，
又eq \f(2,3)>eq \f(π,6)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－eq \f(2,3)④4.1eq \f(2,5)>1eq \f(2,5)＝1,0<3.8－eq \f(2,3)<1－eq \f(2,3)＝1，(－1.9)eq \f(3,5)<0，
∴(－1.9)eq \f(3,5)<3.8－eq \f(2,3)<(4.1)eq \f(2,5).
幂值大小比较常用的方法
要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同时，考虑应用幂函数的单调性；考虑借助中间量“1”“0”“－1”进行比较．
(3)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－eq \f(m,3)＜(3－2a)－eq \f(m,3)的a的取值范围．
[解析] ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴3m－9＜0，解得m＜3.
又m∈N*，∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1.
由题意得(a＋1)－eq \f(1,3)＜(3－2a)－eq \f(1,3).
∵y＝x－eq \f(1,3)在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
∴a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，
解得eq \f(2,3)＜a＜eq \f(3,2)或a＜－1.
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；
(3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
授课提示：对应学生用书第46页
“幂异形同”的幂函数家族——幂函数图象性质的拓展
对于幂函数y＝xα(α∈R)时，可视为y＝xeq \f(q,p)型(p，q互异)根据最简分数eq \f(q,p)的值，来类比常见幂函数的图象．
(1)当α＞0时，
①图象都通过点(0,0)，(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
③在第一象限内，α＞1时，图象是向下凸的；
0＜α＜1时，图象是向上凸的；
④在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展．
(2)当α＜0时，
①图象都通过点(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；
③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；
④在第一象限内，过点(1,1)后，|α|越大，图象下降的速度越快．
(3)幂函数的奇偶性．y＝xα，当α＝eq \f(p,q)(p，q∈Z)是最简分数时，当p，q均为奇数时，y＝xα是奇函数；当p为偶数，q为奇数时，y＝xα是偶函数；当q为偶数时，y＝xα为非奇非偶函数．
[典例] 1.y＝x－eq \f(4,3)的图象是( )
[解析] ∵－eq \f(4,3)<0，∴f(x)＝x－eq \f(4,3)在(0，＋∞)是减函数，
而f(x)＝x－eq \f(4,3)＝eq \f(1,x\f(4,3))＝eq \f(1,\r(3,x4))，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f(－x)＝eq \f(1,\r(3,－x4))＝eq \f(1,\r(3,x4))＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
[答案] A
2．如图，函数y＝xeq \f(2,3)的图象是( )
[解析] y＝xeq \f(2,3)＝eq \r(3,x2)≥0，故只有D中的图象适合．
[答案] D
3．如果一个函数f(x)在其定义域内对任意x，y都满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))≤eq \f(1,2)[f(x)＋f(y)]，则称这个函数为下凸函数．下列函数：
(1)f(x)＝2；(2)f(x)＝x3；(3)f(x)＝eq \f(1,x2)；(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x＜0,2x，x≥0))中是下凸函数的有( )
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(3)(4) D．(1)(4)
[解析] 本题既可用定义来判断，也可由函数的图象直接求解，得(1)(4)满足定义．
[答案] D
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例，了解幂函数的概念．
数学抽象
直观想象
数学运算
2.结合函数y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝xeq \f(1,2)、y＝eq \f(1,x)的图象，了解它们的变化情况及性质．
3.会利用幂函数解决一些问题.
幂函数
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \f(1,2)
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{x|y∈R且y≠0}
单调性
在R上为增函数
x∈[0，＋∞)
时，单调递增
x∈(－∞，0)
时，单调递减
在R上为增函数
在[0，＋∞)上为增函数
x∈(0，＋∞)时，单调递减
x∈(－∞，0)时，单调递减
定点
(0,0)，(1,1)
(0,0)，(1,1)
(0,0)，(1,1)
(0,0)，(1,1)
(1,1)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇