2020-2021学年5.3.2 等比数列的前 n项和学案设计

5.3.2 等比数列的前n项和   导学案

1.理解等比数列的前n项和公式的推导过程.

2.掌握等比数列的前n项和公式及性质,并能用它解决有关等比数列问题.

3.熟练掌握等比数列的五个量a1,q,n,an,Sn的关系,并能进行相关的运算.

重点：等比数列的前n项的运用

难点：等比数列的前n项和公式的推导

1.等比数列的前n项和公式

;;  na1

一、    问题探究

问题1. 信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速的传递有关信息.在这样的背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣” ，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？
         如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友，（称为第1轮传播），每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播）……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列，

1，3，9，27，81, …

如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？

     为了解决情境中的问题，我们需要计算出等比数列的前20项的和，

即要算出

+…+  ①
的值.

探究1. 你能想办法算出①式的值吗？你能得出一般等比数列前项和的公式吗？

探究2. （1）等比数列中，与的关系与以前所学过的什么函数有关？

（2）如果数列{an}的前项和的公式是

其中A,B, 都是常数，且那么{an}一定是等比数列吗？为什么？

二、典例解析

例1.已知等比数列的公比为，且，求这个等差数列前8项的和.

例2.已知等比数列中，，求这个等差数列前10项的和.

等比数列前n项和公式的应用策略

在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素,有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:①选择适当的公式;②利用等比数列的有关性质;③注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.

跟踪训练1. 在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.

(1)a1=8,an=,Sn=,求n;

(2)S3=,S6=,求an及Sn;

(3)a6-a4=24,a3·a5=64,求S8.

例3.已知数列的前项和为求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列.

例4.求和：9+99+999…+999…99.

1.分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.

2.错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n项和.

跟踪训练2.已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn.

例5.某工厂去年1月份的产值为元，且月平均增长率为，求这个工厂去年全年产值的总和.

1. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为(　　)

A.2 B. C. D.

2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(　　)

A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)        C.(1-4-n) D.(1-2-n)

3.记数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1,则S2 020=(　　)

A.22 020-1    B.22 021-1       C.2-()2 020 D.2-()2 021

4.设等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=(　　)

A. B. C. D.

5.数列{(2n-1)·4n-1}的前n项和为　　　　　. 

6.已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.

参考答案：

知识梳理

学习过程

一、    问题探究

问题1. 为了解决情境中的问题，我们需要计算出等比数列的前20项的和，

即要算出

+…+  ①
的值.

探究1.当在①式两边同时乘以3时，可得

++…+
① 可得，因此

=

也就是说经过20轮传播之后，知晓这个信息的人约为17亿，比我国的总人口还多！

一般地，设等比数列，公比为,前项和为，则

+…+,  ③

   ++…+,
当时,由③可以看出.

当时有，由③两边同时乘以 可得

+++…+ ④

③可得

此时有=

综上可得等比数列前一项和的公式为

=

因为,所以等比数列前项和的公式也可以改写为

=

探究2. （1）当

如果记

则可以看出

（2）如果数列{an}的前项和的公式是

由（1）知， {an}是等比数列。

二、    典例解析

例1.解：因为

所以==,

因此=== = 1=255.

例2.解：由已知可得

解得  

因此=== = .

跟踪训练1. 解:(1)显然q≠1,Sn=,

即,∴q=.

又an=a1qn-1,即8×,∴n=6.

(2)由S6≠2S3知q≠1,

由题意,得

②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2.

将q=2代入①,得a1=,

∴an=a1qn-1=×2n-1=2n-2,

Sn==2n-1-.

(3)由题意,得

化简,得

③÷④,得q2-1=±3,负值舍去,

∴q2=4,∴q=2或q=-2.

当q=2时,代入③得a1=1.

∴S8==255.

当q=-2时,代入③得a1=-1.

∴S8=.

综上可知S8=255或S8=.

例3.解：（1）当时，有

当时，有

==

因此数列的通项公式为=

注意到= ，=

因此=，=2，所以可知不是等比数列.

例4.分析：数列9,99,999，…不是等比数列，不能直接用公式求和但将它转化为10-1.100-1,1000-1，…就容易解决了.

+…+-1)
 

=

=

跟踪训练2.解:Sn=a1+a2+a3+…+an

=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n)

=(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+…+n)

=

=2n+1-2+.

例5.解:设该工厂去年第个月的产值为元，由题意可知 =

且= 即=1+

因此{}是以为首项，1+ 为公比的等比数列，这个数列共有12项，且

从而这个数列所有项的和为

因此可知该工厂去年全年产值的总和为

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1. 解析:∵S4=3(a1+a2),∴q≠1.

∴=3a1(1+q).

∵a1≠0,∴q2+1=3.

解得q=.故选D.

答案:D

2.解析:由于a5=a2q3,∴q=,a1==4.

又a1a2+a2a3+…+anan+1=q+q+…+q=q(+…+)=(1-4-n).故选C.

答案:C

3.解析:依题意,Sn=2an-1,

当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1;

当n≥2时,由Sn=2an-1得Sn-1=2an-1-1,

两式相减并化简得an=2an-1.

故数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.

所以S2 020==22 020-1.

答案:B

4.解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,

∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.

∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5,

∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=-.

∴S15-S10=-(S10-S5)=S5.

∴S15=S5+S10=S5.

∴S15∶S5=.

故选A.

答案:A

5. 解析:设前n项和为Tn,则Tn=1+3×41+5×42+…+(2n-1)·4n-1,①

4Tn=1×4+3×42+…+(2n-3)·4n-1+(2n-1)·4n.②

①-②,得-3Tn=1+2(41+42+43+…+4n-1)-(2n-1)·4n=-[(6n-5)×4n+5].

∴Tn=[(6n-5)×4n+5].

答案:[(6n-5)×4n+5]

6.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a3=-6,a6=0,所以

解得a1=-10,d=2.

所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,

所以-8q=-24,q=3.

所以数列{bn}的前n项和公式为Sn==4(1-3n).