高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.1 函数的平均变化率导学案

6.1.1 函数的平均变化率    导学案

1.理解函数平均变化率的概念．

2.会求函数的平均变化率．

3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．

重点：平均速度与函数平均变化率的概念

难点：会求平均速度与函数平均变化率

  一、 函数的平均变化率

        一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称

(或)

为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率.

二、 函数平均变化率的几何意义:

如图所示,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,就是直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).事实上,

kAB=.

三、平均速度与平均变化率

         从物理学中我们知道,平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢,如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2时)这段时间内的平均速度为                        (m/s).这就是说,物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.

一、    问题探究

探究1. 药物在动物体内的含量随时间变化的规律,是药学与数学间的边缘学科---药物动力学的研究内容，相关的规律是确定药物的使用量和用药时间间隔的依据，他克莫司是一种新型免疫抑制剂，在器官移植临床中的应用非常广泛，已知某病人服用他克莫司后血药浓度的一些对应数据如下表所示，

（1）当和时,都是增加的,哪个时段的增加更快？

（2）当时,平均每小时的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？

问题1. 在平均变化率中, Δx, Δy,    是否可以等于0?当平均变化率等于0时,是否说明函数在该区间上一定为常数?

二、典例解析

例1. 求函数在下列区间上的平均变化率:
（1）

（2）以1和为端点的闭区间.

例1（2）的计算结果说明，函数在以1和为端点的闭区间上的平均变化率与有关； 增大时，平均变化率增大.

       从几何上来看就是，当增大时，函数的图像上，连接（1，）与（1+ ，）的直线斜率将不断增大，如图所示的图中，直线AB的斜率小于直线AO的斜率,且直线，AO的斜率小于直线AC的斜率.

       前述情境中的数据可以用图表示，若将作为时间的函数，除了根据已知数据得到的点以外，函数图像上其他点我们是不知道的.例如,函数图像有可能是图中黄色曲线，也有可能是绿色曲线
探究2.观察前述情景中的数据与图思考，怎样才能估计出时的值？

        我们可以将图中的线段AB近似的看成在上的图像，从而由AB的方程可以计算出时的估计值：

因为直线AB的斜率为6.95，且B（5，8.8），所以有直线的点斜式可知AB的直线方程为

       代入,可以算得，也就是说的估计值为.上述求估计值的关键是用直线段代替了曲线段，这在数学中简称为“以直代曲”.

例2.已知某物体运动的位移是时间的函数，而且时，

 时，

（1）求这个物体在时间段内的平均速度；

（2）估计出时物体的位移.

求函数平均变化率的解题策略

(1)求函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的解题步骤:

①求函数值的增量:Δf=f(x2)-f(x1);

②求自变量的增量:Δx=x2-x1;

③作商即得平均变化率:.

(2)运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0,t1]上的平均变化率,因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率.

跟踪训练1.(1)求函数f(x)=在区间[-1,0],[1,3],[x0,x0+1]上的平均变化率;

(2)若某一物体的运动方程为s=-2t2,那么该物体在t=2到t=3时的平均速度为　　　　　. 

1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．

2．函数平均变化率的几何意义和物理意义．

(1)几何意义：平均变化率表示函数y＝f(x)图像上割线P1P2的斜率，若P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，则kP1P2＝＝；

(2)物理意义：把位移s看成时间t的函数，平均变化率表示s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.

1．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　)

A.＝＝          B.＝

C. ＝             D.＝

2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　　)

A．2.1  B．1.1  C．2  D．0

3.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．

4．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.

5.已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):

(1)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率;

(2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.

6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．

(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？

(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

参考答案：

知识梳理

学习过程

一、    问题探究

探究1. 有所给数据不难看出，当和时， 的增加量分别为

因为时间间隔都是，所以时， 增加更快.

当时， 的变化量为

又因为共有5-3=2个小时，所以平均每小时的变化量为
这说明，在这段时间内，任意1个小时血药浓度平均减少

，此时，任意（ ）个小时血药浓度平均减少.

问题1. 分析:Δx可以为正数,也可以为负数,但Δx不可以为0,Δy可以为0; 

 可以为0.当平均变化率 等于0时,并不说明函数在该区间上一定为常数.例如函数f(x)=x2在区间[-2,2]的平均变化率是0,但它不是常数函数.

二、    典例解析

例1. 解：依定义可知

4.
 即在上的平均变化率为4.

（2）依定义可知

.
在以1和为端点的闭区间上的平均变化率为.

探究2.

        我们可以将图中的线段AB近似的看成在上的图像，从而由AB的方程可以计算出时的估计值：

因为直线AB的斜率为6.95，且B（5，8.8），所以有直线的点斜式可知AB的直线方程为

       代入,可以算得，也就是说的估计值为.上述求估计值的关键是用直线段代替了曲线段，这在数学中简称为“以直代曲”.

例2.解：（1）所求平均速度为

（2）将 成直线，则由（1）可知，

直线的斜率为5，且直线通过点，

因此， 与的关系可近似地表示为

在上式中令，可求得，即物体的位移可以估计为

跟踪训练1.分析(1)按照平均变化率的定义分三步求解;(2)实质就是求函数s(t)在区间[2,3]上的平均变化率.

(1)解:f(x)=在区间[-1,0]上的平均变化率为

=-.

f(x)=在区间[1,3]上的平均变化率为

=-.

f(x)=在区间[x0,x0+1]上的平均变化率为.

(2)解析:平均速度为=-10,

故该物体在t=2到t=3时的平均速度为-10.

答案:-10

达标检测

1．A　[由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以＝＝.]

2．A　[＝＝＝2.1.]

3. [x3，x4]　[由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：

，，，

结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．]

4． 5　[因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，

所以＝＝2，

即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．]

5.解:(1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平均变化率为=0.9.

(2)f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3+5)

=3+6x0Δx+3(Δx)2+5-3-5=6x0Δx+3(Δx)2.

函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.

6． [解]　(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，

T(10)＝＋15＝23，

故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.

(2)平均变化率为＝－＝－1.6.

它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.