高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列教案

课程目标

学科素养

A. 理解等差数列的概念,并能利用等差数列的定义判断或证明一个数列是否为等差数列.

B.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念.

C.掌握等差数列的性质,并能在具体问题中正确应用.

D.了解等差数列与一次函数的关系.

1.数学抽象：等差数列的概念

2.逻辑推理：等差数列通项公式及其性质的推导

3.数学运算：通项公式的应用

4.数学建模：等差数列的应用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。
     我国有用12生肖纪年的习惯，例如.2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017 ，2029， 2041，2053，2065 ，2077，…；①
      我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250。…；②
2019年1月中，每个星期日的日期为

6，13 ，20， 27.③
（1）数列①②③在数学中都称为等差数列，它们有什么共同点？你能给等差数列下一个定义吗？
（2）你能总结出数列①②③的通项公式并得出一般等差数列的通项公式吗？

    不难看出，上述数列①②③的共同特点是 ：从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数.具体地，

数列① 从第2项起每一项与它前一项之差都等于12；

数列 ②从第2项起每一项与它前一项之差都等于-5；

数列 ②从第2项起每一项与它前一项之差都等于7.

1．等差数列的概念

2 ；前一项 ；同一个常数 ；常数 ；d

探究1.你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，

可得=

所以= , = , = ,…

于是  + ,

+ =(+ ) + + 2,

+ =(+ ) + + 3,……

归纳可得+() (n)

当n时，上式为+() ，这就是说,上式当时也成立。

因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为+()

另外根据等差数列的定义可得：

∵a2－a1＝d，

a3－a2＝d，

a4－a3＝d，

…

an－an－1＝d(n≥2)，

将上述(n－1)个式子相加得

an－a1＝(n－1)d(n≥2)，

∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，

当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，

∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．

2.等差数列的通项公式

一般地,若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为：an=a1+(n-1)d.

点睛： 等差数列的通项公式an中共含有四个变量,即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.

二、典例解析

例1.判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由.

（1）7,13,19,25,31；

（2）2,4,7,11；

（3）-1,-3,-5,-7.

解：（1）因为13-7=19-13=25-19=31-25=6，

所以是等差数列，且公差为6.

（2）因为4-2=2，17-4=3，所以4-217-4，

因此不是等差数列.

（3）因为-3-（-1）=-5-（-3）=-7-（-5）=2

所以是等差数列，且公差为6.

例2.已知等差数列10,7,4，…

（1）求这个数列的第10项；

（2） -56是不是这个数列中的项？-40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.

解：（1）记数列{an}，则由题意知，

因此数列的通项公式为，

当因此第10项为.
（2）设-56是数列中的第 项，则

解得所以-56是数列的第23项。

设-40是数列中的第 项，则

解得所以-40不是数列中的项.

1.等差数列通项公式的求法

(1)等差数列的通项公式有两个基本量:首项a1和公差d,故求通项公式主要是利用方程思想解a1,d.

(2)等差数列通项公式的另两种形式:

①an=am+(n-m)d;

②an=kn+b(k,b是常数).

2.方程思想的应用

等差数列的通项公式是一个等式,且含有a1,an,n,d四个字母,当把任何一个字母看作未知数时,就构成一个方程,从而可以通过解方程的方法求出这四个字母中的任何一个.

跟踪训练2.已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.

解：　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则由题意得解得

故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.

法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，

∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.

法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.

由a15＝8，a60＝20得解得

∴a75＝75×＋4＝24.

探究2.在等差数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关?

因为+()

所以如果记

则可以看出，而且;

（1）当公差时， 是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此，公差为0的等差数列是常数列）；
（2）公差时，是一次函数，而且的增减性依赖于公差的符号，因此，当时， {an}是递增数列，当时， {an}是递减数列.

从函数角度认识等差数列{an}

若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，

则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；

(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d

例3.已知数列{an}的通项公式为判断这个数列是否是等差数列，如果是求出公差，如果不是说明理由.

解：因为

所以数列{an}是等差数列,且公差为3.

事实上,可以证明数列{an}是等差数列的充要条件是其中是常数.

例4.已知等差数列{an}的公差为求证:对于任意的正整数有

解:设等差数列的首项为,则

两式相减，整理可得

即

例5.已知等差数列{an}中，, 求.
解:设等差数列的首项为,则

解得 , 3，因此

探究3.如果A为与的等差中项，那么A能用与表示出来吗

根据等差中项与等差数列的定义可知A，因此

例6.已知数列{an}中，

在时恒成立，求证： {an}是等差数列.

解：因为

，所以

.

因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以{an}是等差数列.

探究4.设数列{an}的通项公式为，求出 并比较它们的大小。你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗？

因为，

一般地，如果{an}是等差数列， 而且正整数+t=p+q

则as+at=ap+aq.

特别地，如果2=p+q，则2as=ap+aq.

例7.如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为43cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度.

解：（方法一）依题意，,

设公差为，则解得

因此

因此其余三级的宽度分别为37cm，39cm，41cm.
（方法二）因为等差数列为，，，，共5项，

又因为所以

即，

类似地，有

所以，，

因此，其余三级的宽度分别为37cm，39cm，41cm.

等差数列的常用性质

等差数列有很多条性质,但常用的主要有两条:若{an}为等差数列,则

(1)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)时,总有am+an=ap+aq.

(2)当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,总有am+an=2ak.

跟踪训练4. (1)在等差数列{an}中,已知a1,a2 021为方程x2-10x+21=0的两根,则a2+a2 020等于(　　)

A.10 B.15       C.20           D.40

(2)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=　　　　　. 

解析:(1)根据根与系数的关系及等差数列的性质可得a2+a2 020

=a1+a2 021=10.

(2)因为数列{an}是等差数列,

所以由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,

所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.

答案:(1)A　(2)20

通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

通过等差数列通项公式的推导，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)

A．是公差为－3的等差数列

B．是公差为5的等差数列

C．是首项为5的等差数列

D．是公差为n的等差数列

A　[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.]

2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)

A．8　    B．12　　　C．16　　　D．24

C　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得

解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]

3.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　)

A.2   B.3      C.6         D.9

解析:由题意,得解得m+n=6.

故m和n的等差中项是3.

答案:B

4.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=　　　　. 

解析:在等差数列{an}中,a3=7,a5-a2=6,

∴3d=6.∴a6=a3+3d=7+6=13.

答案:13

5.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为　　　　　. 

解析:设这三个数为a-d,a,a+d,

则

解得

∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1.

∴它们的积为-21.

答案:-21

6．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程

x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．

[解]　由题意得∴

解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.

故数列{an}的通项公式为an＝2n.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。