人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.1 数列基础5.1.2 数列中的递推学案设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.1 数列基础5.1.2 数列中的递推学案设计，共8页。学案主要包含了数列的递推关系，数列的前n项和， an与Sn的关系等内容，欢迎下载使用。

1.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.(数学抽象)
2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.
3.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项an
重点： 数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系
难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式
一、数列的递推关系
如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
通项公式与递推公式的区别与联系
二、数列的前n项和
一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.
例如，对于尝试与发现中的数列来说，
S1=a1=220，
S2=a1+a2=220+530=750，
S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等。
三、 an与Sn的关系
一般的如果数列{an}的前n项和为Sn，那么当n≥2有，
Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1
Sn=a1+a2+a3+…+an
所以Sn=Sn-1+an
因此an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).
一、问题探究
问题1.如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？
观察
1，3， 6，10，15，…
中数字出现的规律，写出第8个数.
如果将给定的数列记作数列{an}，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项a8，因为
a2-a1=3-1 =2，a3-a2=6-3 =3，
a4-a3=10-6=4，a5-a4=15-10=5，
因此，可以猜想，数列{an}应该满足
an+1=an+n+1，从而可知a6=a5+6=15+6=21，
a7=a6+7=21+7=28，
a8=a7+8=28+8=36，
显然，上述数列{an}可以由a1=1，, an+1-an=n+1 完全确定.
问题2. 已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列，
220，530，950，1360，1820，2350，
假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即
220+530+950+1360+1820+2350=7230
问题3.已知数列{an},的前n项和为
Sn=2n +1
你能写出a1，a2，a3吗？你能总结出一般规律吗？
因为S1=2×1+1=3，
又因为S1=a1，所以a1=3.
因为S2=2×2+1=5，
又因为S2=a1+a2,所以a2=S2-a1=5-3=2.
因为S3=2×3+1=7，又因为S3=a1+a2+a3=S2+a3
所以，a3=S3-a1-a2=7-3-2=3.
二、典例解析
例1. 分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第，写出数列的第7项；
（1） 1,2,4,7,11，…;
（2） -1,2,5,8,11，…;
（3） 1,-2,4,-8,16，….
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.
(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=an-12
跟踪训练1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=2anan+2 给出,试写出这个数列的前5项.
例2.意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系.
例2中的数列，通常称为斐波那契数列，可以证明，斐波那契数列
1，1，2，3，5，8,…
的通项公式为Fn=15（1+52）n-（1-52）n
因为其中的，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列。令人惊奇的是斐波那契数列在很多领域中都有广泛的应用，而且自然界中处处都有斐波那契数列的影子，现代金融技术分析方法中还有专门的斐波那契分析法，有兴趣的读者请查阅有关资料进一步了解吧！
例3.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2, 求数列{an}的通项公式.
由Sn求an的方法
an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2),若a1适合an(n≥2),则用一个公式表示an,若a1不适合an(n≥2),则要用分段函数的形式表示an.此时不可不求a1而直接求an.
跟踪训练2. (1)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n,求通项an;
(2)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项an.
1．因为an＝Sn－Sn－1只有当n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．要注意通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
1.下列说法错误的是( )
A.递推公式也是数列的一种表示方法
B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式
C.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法
D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式
2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.设数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4的值为( )
A.15 B.37 C.27 D.64
4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,则通项公式an= .
5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.
参考答案：
知识梳理
学习过程
问题探究
问题1.如果将给定的数列记作数列{an}，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项a8，因为
a2-a1=3-1 =2，a3-a2=6-3 =3，
a4-a3=10-6=4，a5-a4=15-10=5，
因此，可以猜想，数列{an}应该满足
an+1=an+n+1，从而可知a6=a5+6=15+6=21，
a7=a6+7=21+7=28，
a8=a7+8=28+8=36，
显然，上述数列{an}可以由a1=1，, an+1-an=n+1 完全确定.
问题2. 作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即
220+530+950+1360+1820+2350=7230
问题3. 因为S1=2×1+1=3，
又因为S1=a1，所以a1=3.
因为S2=2×2+1=5，
又因为S2=a1+a2,所以a2=S2-a1=5-3=2.
因为S3=2×3+1=7，又因为S3=a1+a2+a3=S2+a3
所以，a3=S3-a1-a2=7-3-2=3.
二、典例解析
例1. 分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第，写出数列的第7项；
（1） 1,2,4,7,11，…;
（2） -1,2,5,8,11，…;
（3） 1,-2,4,-8,16，….
跟踪训练1.解:∵a1=1,an+1=2anan+2,∴a2=2a1a1+2=23,
a3=2a2a2+2=2×2323+2=12,
a4=2a3a3+2=2×1212+2=25,
a5=2a4a4+2=2×2525+2=13.
故该数列的前5项为1,23,12,25,13.
例2.解:根据题意可知，前2个月内，小兔子都还没有长成大兔子，因此
F1=F2=1.
第3个月时，第1个月的那对小兔子会生1对小兔子，因此F3=1+1=2.
第4个月时，第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子，因此F4=2+1=3.
第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子也会生1对小兔子，因此F5=3+2=5.
第6个月时，第1个月的那对小兔子、第3个月出生的小兔子以及第4个月出生的小兔子，都会生1对小兔子，因此F6=5+3=8.
一般地，当n≥3时，第n个月的兔子对数Fn，
应该等于第n-1个月的兔子对数Fn-1加上新生的兔子对数，
又因为第 n -2个月的兔子对到了第n个月都能生1对兔子，因此有
Fn=Fn-1+Fn-2
例3.解：由题意可知当n≥2时有
an=Sn-Sn-1=n2-n-12=2n-1 .
又因为2×1-1=1,所以n=1时也成立，
因此an=2n-1 .
跟踪训练2. 分析:利用an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2)求解.
解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.
显然a1=-1也适合n≥2时的an=4n-5.
故数列{an}的通项公式为an=4n-5.
(2)当n=1时,a1=S1=51-3=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1,
显然a1=2不适合n≥2时的an=4×5n-1.
故数列{an}的通项公式为an=2(n=1),4×5n-1(n≥2).
达标检测
1.解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.
答案:C
2.解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),
∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
答案:C
3.解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37.
答案:B
4. 解析:∵an+1=an+ln1+1n,
∴a2-a1=ln1+11=ln 2,
a3-a2=ln1+12=ln32,
a4-a3=ln1+13=ln43,
……
an-an-1=ln1+1n-1=lnnn-1.
以上(n-1)个等式相加,得an-a1=ln 2+ln32+…+lnnn-1=ln n.
∵a1=2,∴an=2+ln n.
∵a1=2+ln 1=2,
∴{an}的通项公式为2+ln n.
答案:2+ln n
5.解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1),
∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,
a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,
a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,
a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.
故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.
类别
区别
联系
通项公式
an是序号n的函数式an=f(n)
都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项
递推公式
已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式