选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性课时训练

专题三　导数与函数的单调性

基本公式

1．如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；

2．如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．

3．如果恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．

4．利用导数求函数单调区间的基本步骤

(1)确定函数f(x)的定义域．

(2)求导数f′(x)．

(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数．

(4)结合定义域写出单调区间．

例题分析

一、导数与单调性的关系

例1  如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)

(对应训练一) (1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　)

A　 　　　　B　　  　　　C　     　　　D

(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)

A　　　   　B　　　   　　C　　     　　D

(对应训练二)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　)

二、求函数的单调区间

例2  求下列函数的单调区间：

(1)y＝x3－2x2＋3；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.

(对应训练一)求下列函数的单调区间．

(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)；(2)f(x)＝3x2－2lnx.

 (对应训练二)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调区间．

三、求含参数的函数的单调区间

例3  试讨论函数f(x)＝ax3－3x2＋1－的单调性．

(对应训练)已知函数f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．

四、已知函数单调性求参数范围

例4  若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围．

(对应训练一)已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．

(对应训练二)已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．

(对应训练三)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．

专题训练

1．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是(　　)

2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)

A．(－1，1]      B．(0，1]       C．[1，＋∞)      D．(0，＋∞)

3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)

A．1　　　   B.              C.      D.

4．函数y＝xln x在(0，5)上的单调性是(　　)

A．单调递增

B．单调递减

C．在上单调递减，在上单调递增

D．在上单调递增，在上单调递减

5．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥1          B．a＝1         C．a≤1       D．0＜a＜1

6．已知函数f(x)＝－＋ln 2，则(　　)

A．f()＝f()    B．f()<f()     C．f()>f()    D．f()，f()的大小关系无法确定

7．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2]     B．(－∞，－1]    C．[2，＋∞)    D．[1，＋∞)

8．设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)

A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)        B．f(2)<e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)

C．f(2)<e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)        D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)

9．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有(　　)

A．f(x)g(x)>f(b)g(b)         B．f(x)g(a)>f(a)g(x)

C．f(x)g(b)>f(b)g(x)         D．f(x)g(x)>f(a)g(a)

10．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1，3)，则b＝________，c＝________．

11．使y＝sin x＋ax为R上的增函数的a的取值范围是________．　

12．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．

13．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．

14．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________．

15．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．

16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象过点P(1，2)，且在点P处的切线斜率为8.

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

17．已知函数f(x)＝ln x－.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x>1时，f(x)<x－1.

18．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．

19．已知x＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x－x2成立．

20．已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．

21．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．