高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题达标测试

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专题六 利用导数求恒成立问题
基本公式
不等式恒成立问题的转化技巧
(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)max(或≤f(x)min);
(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)min(或≤f(x))max)；
(3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x));
(4)f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))．
例题分析
一、a≥f(x)(或≤f(x))恒成立问题
例1 已知函数f(x)＝xln x.
(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值．
解析 (1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1.
∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，
∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，
即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．
∴a≥－1－ln x.
又当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)．
∴－1－ln x∈(－∞，－3]，
∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．
(2)由题知，2f(x)≥－x2＋mx－3，
即mx≤2x·ln x＋x2＋3.
又x>0，∴m≤.
令h(x)＝，
h′(x)＝
＝＝，
令h′(x)＝0.解得x＝1，或x＝－3(舍)．
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∴h(x)min＝h(1)＝4，即m的最大值为4.
归纳总结：恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立．
(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．
(对应训练一)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2，3)时，f′(x)＞0.
所以，当x＝1时，
f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
所以当x∈[0，3]时，
f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0，3]，
有f(x)＜c2恒成立，
所以9＋8c＜c2，
解得c＜－1或c＞9.
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(对应训练二)设函数f(x)＝xex－x＋2.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范围．
解析 (1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x＋2＝xex－x2－x＋2，
∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－1 当x<－1或x>0时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．
(2)由f(x)≥x2－x＋2，得x≥0，
当x＝0时，显然成立；
当x>0时，即≥恒成立．
记g(x)＝，则g′(x)＝，
当0 当x>1时，g′(x)>0，g(x)是增函数．
∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴≤e，得a≤2e－2.
即a的取值范围是(－∞，2e－2]．
二、f(x)≥g(x)恒成立问题
例2 已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
解析　(1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)min＝f＝－.
(2)2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，
则h′(x)＝，
①当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；所以h(x)min＝h(1)＝4，
对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围是(－∞，4]．
(对应训练)已知f(x)＝－x3＋x－1，g(x)＝－2x＋m，当x∈(0，2)时，f(x) 解析 因为f(x)－x3＋3x－1，
令h(x)＝－x3＋3x－1，
h′(x)＝－3x2＋3，x∈(0，2)，
令h′(x)＝0，则x＝1，
即当h′(x)>0时，0 当h′(x)<0时，1 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，2)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
↗
1
↘
所以h(x)max＝h(1)＝1，
当m>h(x)max＝1，即m>1时，f(x) 专题训练
1．若对任意的x>0，恒有ln x≤px－1(p>0)，则p的取值范围是(　　)
A．(0，1] B．(1，＋∞) C．(0，1) D．[1，＋∞)
解析　原不等式可化为ln x－px＋1≤0，令f(x)＝ln x－px＋1，故只需f(x)max≤0，由f′(x)＝－p知f(x)在上单调递增；在上单调递减．故f(x)max＝f＝－ln p，即－ln p≤0，解得p≥1.
答案 D
2．设函数f(x)＝x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 f′(x)＝xex＋x2ex＝·x(x＋2)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.
当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
0
－
0
＋

f(x)

递减

递增

∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，要使f(x)＞m对x∈[－2,2]恒成立，只需m＜f(x)min，∴m＜0.
答案 (－∞，0)
3．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝ex－2.由f′(x)>0得ex－2>0，
∴x>ln 2.由f′(x)<0得，x ∴f(x)在x＝ln 2处取得最小值．
只要f(x)min≤0即可．
∴eln 2－2ln 2＋a≤0，∴a≤2ln 2－2.
答案 (－∞，2ln 2－2]
4．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝e，
且当00；当x>e时，g′(x)<0，
∴当x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
答案 [e，＋∞)
5．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.所以f(x)的增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．
由x(x＋2)<0，得－2 所以f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调减区间为(－2，0)．
(2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
因为f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，所以f(x)∈[0，2e2]．
又因为f(x)>m恒成立，所以m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
6．已知f(x)＝xln x.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－ 成立．　
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.
当x>时，f′(x)>0，f(x)为增函数；
当0 (2)证明：问题等价于证明xln x>－.
由第一问可知f(x)＝xln x的最小值是－，当且仅当x＝时取到．
设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，
易知m(x)max＝m(1)＝－，
当且仅当x＝1时取到，所以xln x>－.
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
7．设函数f(x)＝2ax－＋ln x，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
(1)求a、b的值；
(2)在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的取值范围．
解析 (1)∵f(x)＝2ax－＋ln x，∴f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，∴f′(1)＝0，f′＝0，
即解得
∴所求a、b的值分别为－、－.
(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，x∈，
由f′(x)＝－－＋＝－＝－，
∴当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
∴f是f(x)在上的最小值．而f＝＋ln ＝－ln 2，
∴c≥－ln 2.
∴c的取值范围为.
8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1，3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴x∈[－2，6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18，
∴c的取值范围为(－∞，－18)∪(54，＋∞)．