数学选择性必修 第三册5.2.1 等差数列练习题

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专题三　等差数列
基本知识点
1．等差数列的递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
2．等差中项：如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等差中项．满足的关系式是a＋b＝2A．
3．等差中项的理解：
(1)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．
(2)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．
4．等差数列中项与序号的关系
(1)两项关系：在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d(m，n∈N*).
(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.
5．等差数列的判定方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an}是等差数列．
(2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇒{an}是等差数列．
(3)中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}是等差数列．
(4)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
6．等差数列的单调性：等差数列{an}的公差为d，
(1)当d>0时，数列{an}为递增数列．
(2)当d<0时，数列{an}为递减数列．
(3)当d＝0时，数列{an}为常数列．
7．等差数列常用结论
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(3)若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…，(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列.
8．试题中等差数列的对称项的设法
三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
例题分析
一、等差数列的通项公式
例1 (1) 2 000是等差数列4,6,8，…的(　　)
A．第998项　　B．第999项 C．第1 001项　　D．第1 000项
(2)已知等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第20项．
解析　(1)数列4,6,8，…的通项公式为an＝2n＋2.则2n＋2＝2 000.解得n＝999.
(2)由题意可知a1＝1，a2＝－3，所以公差d＝a2－a1＝－4.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.所以a20＝5－4×20＝－75.
即该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75.
答案 (1)B (2) an＝5－4n，a20＝－75.
归纳总结：解决等差数列通项公式的方法：
(1)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
(2)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
(对应训练一)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d；
解析　(1)解法一：因为a5＝10，a12＝31，故
即
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.
解法二：a12＝a5＋7d⇒31＝10＋7d⇒d＝3.
由10＝a1＋(5－1)×3得a1＝－2.
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.
答案 首项是－2，公差是3
(对应训练二)等差数列{an}中，
①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；
②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
解析　①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.
②an＝a1＋(n－1)×d，所以a5＝a1＋4d，
所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，
令－2n＋21＝1，得n＝10.
答案 ①3n－11 ②10
二、等差中项的应用
例2 (1)一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．
(2)一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是________.
解析　(1) 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有
解得
所以所求三个数分别为1,3,5或5,3,1.
(2)方法一：设c为斜边，公差为d，则a＝b－d，c＝b＋d，
所以解得b＝4，d＝，
从而a＝3，c＝5，a＋b＋c＝12.
方法二：设c为斜边，因为是直角三角形且三边长a，b，c成等差数列，
且面积为12，可得：解得
故三角形的周长为a＋b＋c＝12.
答案 (1) 1,3,5或5,3,1 (2) 12
归纳总结：等差中项的应用策略
(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．
(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m (3)三个数或四个数成等差数列的设法：当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解．方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
(对应训练一)已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
解析　因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.
设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.
由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：2lg4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．
从而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.
所以d＝4或d＝－2.
所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3.
答案 1,5,9或7,5,3.
(对应训练二)已知数列{an}的首项为x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值．
解析　(1)由x1＝3，得2p＋q＝3.①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，
且x1＋x5＝2x4,3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1.②
将②代入①得p＝1，故p＝1，q＝1.
答案 p＝1，q＝1
(对应训练三)已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
解析　在等差数列{an}中，
∵ a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.
∴解得或
当时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.
当时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
答案 5n－9
三、等差数列的判断与证明
例3 已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
解析　∵，，成等差数列，∴＝＋，
则b(a＋c)＝2ac，∴ac＝.
∴＋＝＝＝＝，
即，，也成等差数列．
答案 见解析
归纳总结：1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)an＝kn＋b(k、b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．若要说明一个数列不是等差数列，则只需举一个反例即可．
2．用定义证明等差数列时的易错点：用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．
(对应训练一)判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中an＝3n＋2；(2)在数列{an}中an＝n2＋n.
解析　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．
由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，
所以这个数列不是等差数列．
(对应训练二)在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，＝.
求证：数列{an}是等差数列．
解析　当n≥2时，由＝，
得(n－1)an＋1＝nan，
所以nan＋2＝(n＋1)an＋1，两式相减得：
nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，
整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1，
所以an＋2＋an＝2an＋1，
所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，
又因为a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1，所以数列{an}是等差数列．
(对应训练三)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)．
(1)求证：是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．
解析 (1)证明：因为对于n∈N*，an＋1＝，
所以an＋1＝，
所以－＝－＝＝－1.
所以数列是首项为＝－2，公差为－1的等差数列．
(2)由(1)知＝－2＋(n－1)(－1)＝－(n＋1)，
所以an－1＝－，即an＝.
四、等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用
例4 若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
[解析]　解法一：设等差数列{an}的公差为d，
∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
∴，解得.∴a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
解法二：∵{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．
设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项，
∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.
∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
解法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝.
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
归纳总结：1.因为a15和a60都可用a1和d表示，故可列方程组解出a1和d，进而求出a75.
2．因为{an}为等差数列，又序号15,30,45,60,75成等差数列，所以根据等差数列的性质，a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．
3．解法二中公差d指的是数列a15，a30，a45，a60，a75的公差，与解法一和解法三中的公差不同，注意区分．
(对应训练)等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.
解析　解法一：设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得，∴.∴a10＝a1＋9d＝＋＝7.
解法二：设等差数列{an}的公差为d，∴a8－a2＝6d＝3，∴d＝.
∴a10＝a8＋2d＝6＋2×＝7.
五、用性质am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题
例5 (1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝______.
(2)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值．
解析　(1)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，
所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(2)因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以5a5＝450.所以a5＝90.所以a2＋a8＝2a5＝180.
归纳总结：等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
(对应训练一)若a1－a4－a8－a12＋a15＝，则sin(a2＋a14)的值(　　)
A．0　　 B．1 C．－1　　 D．不存在
解析　a1＋a15＝2a8，a4＋a8＋a12＝3a8，∴－a8＝，即a8＝－，
∴sin(a2＋a14)＝sin(2a8)＝sin(－π)＝0.
答案 A
(对应训练二)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝－12，且a1·a3·a5＝80.求通项an.
解析 因为a1＋a5＝2a3，所以
⇒
解得a1＝－10，a5＝2或a1＝2，a5＝－10，
因为d＝，所以d＝3或－3，
所以an＝－10＋3(n－1)＝3n－13，
或an＝2－3(n－1)＝－3n＋5.
六、等差数列的综合应用
例6 (1)方程f(x)＝x的根称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)＝有唯一不动点，且x1＝1 000，xn＋1＝，n＝1,2,3，…，则x2 019＝(　　)
A． 2 019　　 B．2 009 C．　　 D．2 018
(2)已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式log2(ax2－3x＋6)>2的解集为{x|x<1或x>b}，则数列{an}的通项公式an＝_________.
解析　(1)由＝x得ax2＋(2a－1)x＝0，∵f(x)有唯一不动点，
∴2a－1＝0，即a＝，∴f(x)＝，∴xn＋1＝＝＝xn＋，
∴{xn}为公差为，首项为1 000的等差数列，
∴x2 019＝x1＋×(2 019－1)＝1 000＋1 009＝2 009.
(2)因为不等式log2(ax2－3x＋6)>2可转化为ax2－3x＋2>0，所给条件表明：ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
根据不等式解集的性质可知：
方程ax2－3x＋2＝0的两根为x1＝1，x2＝b.
利用根与系数的关系不难得出a＝1，b＝2.
由此知an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
归纳总结：解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式．
(3)利用函数或不等式的有关方法解决．
(对应训练一) 在等差数列{an}中，已知a4＝8，a6＝12，则数列{3an＋4}的第2 019项为___________.
解析　设{an}的公差为d，则d＝＝＝2，a4＝a1＋3d，所以a1＝2，由等差数列的性质知{3an＋4}是以3a1＋4为首项，3d为公差的等差数列，所以3an＋4＝(3×2＋4)＋6(n－1)＝6n＋4.所以第2 019项为6×2 019＋4＝12 118.
(对应训练二)首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件：①a3＋a5＋a7＝93；②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值．
解析 a3＋a5＋a7＝93，则a5＝31，所以an＝a5＋(n－5)d>100，
n>＋5，因为n的最小值是15，故14≤＋5<15.
所以6.9 七、等差数列的实际应用　
例7 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解析　设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
归纳总结：解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
(对应训练一)梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
解析 用数列{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，
由题意，得a1＝33，a12＝110，n＝12.
由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，
即110＝33＋11d，解得d＝7.
因此a2＝40，a3＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.
(对应训练二)某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
解析 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
答案 23.2
(对应训练三)如图所示，三个正方形的边AB、BC、CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.

(1)求AB、BC、CD的长；
(2)以AB、BC、CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解析　(1)设公差为d(d>0)，BC＝x，
则AB＝x－d，CD＝x＋d.
由题意得
解得或(舍去)．
所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．
(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}，
所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a＝392＝1521(cm2)．
所求正方形的面积为1521 cm2.
八、等差数列在三角形中的应用　
例8 在△ABC中，若lg (sinA)，lg (sinB)，lg (sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断该三角形的形状．
解析　由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，
∴3B＝π，∴B＝.
∵lg (sinA)，lg (sinB)，lg (sinC)成等差数列，
∴2lg (sinB)＝lg (sinA)＋lg (sinC)，
即sin2B＝sinAsinC，∴sinAsinC＝.
又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC，
∴sinAsinC＝－[cos(A＋C)－cos(A－C)]．
∴－＝.
∴＋cos(A－C)＝.∴cos(A－C)＝1.
∵A－C∈(－π，π)，∴A－C＝0，即A＝C＝，∴A＝B＝C.
故△ABC为等边三角形．
归纳总结：等差数列与三角函数结合，一般需要根据等差数列的定义、性质等得到三角恒等式，然后运用三角恒等知识变形、化简，得到有关的恒等式，进而求解相关问题．
(对应训练)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为 ．
解析 设△ABC的三边长为a－4，a，a＋4(a>4)，
则＝－，
解得a＝10，三边长分别为6,10,14.
所以S△ABC＝×6×10×＝15.
答案 15
九、等差数列在向量问题中的应用
例9 已知数列{an}为等差数列，且满足＝a3＋a2 015，若＝λ(λ∈R)，点O为直线BC外一点，则a1＋a2 017＝(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
解析　∵＝a3＋a2 015，∴－＝a3＋a2 015，即＝(a3＋1)＋a2 015，又∵＝λ(λ∈R)，∴a3＋1＋a2 015＝1，∴a1＋a2 017＝a3＋a2 015＝0.故选A.
答案 A
专题训练
1．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于(　　)
A．120 B．105 C．90 D．75
解析　∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16.
∵d>0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.故选B.
答案 B
2．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d< C. 解析　由题意∴
∴ 答案 D
3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D.
答案 D
4．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为　　(　　)
A．p＋q B．0 C．－(p＋q) D．
解析　∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
∴
①－②，得(p－q)d＝q－p.
∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.故选B.
答案 B
5．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于(　　)
A. B． C. D．
解析　设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝.这样可求出＝＝.故选D.
答案 D
6．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则(　　)
A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
解析　∵数列{2}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0.故选C.
答案 C
7．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝(　　)
A．1 B. C. D.
解析　设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝.
答案 C
8．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　)
A．24　　 B．23　　
C．22　　 D．21
解析　由3an＋1＝3an－2得an＋1－an＝－，所以数列{an}为首项a1＝15，公差d＝－的等差数列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋，则由ak·ak＋1<0得ak>0，ak＋1<0，令an＝－n＋＝0得n＝，所以a23>0，a24<0，所以k＝23.故选B．
答案 B
9．设{an}是等差数列．下列结论中正确的是(　　)
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
解析　先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若00，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，则a>a1a3⇒a2>，选C．
答案 C
10．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝.若对任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－8，－6)　　 B．(－7，－6) C．(－6，－5)　　 D．(6,7)
解析　∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，
∴an＝n＋a－1.∴bn＝＝1－.
又∵对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，可知≤，
则必有7＋a－1<0且8＋a－1>0，∴－7 答案 B
11．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝ .
解析 由已知a－a＝4，
∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
答案
12．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝ .
解析 由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案 n2
13．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.(1)数列是否为等差数列？说明理由．(2)求an.
解析 (1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，∴－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知，＝＋(n－1)d＝，
∴an＝.
14．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析 (1)证明：∵an＝4－(n≥2)，
∴an＋1－2＝2－＝(n≥1)，
∴＝＝＋(n≥1)．
故－＝(n≥1)，
即bn＋1－bn＝(n≥1)，
所以{bn}为等差数列．
(2)由(1)知，是等差数列，
则＝＋(n－1)×＝，
解得an＝2＋，
所以{an}的通项公式为an＝2＋.
15．数列{an}为等差数列，bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式．
解析 ∵b1＋b2＋b3＝a1＋a2＋a3＝，b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3.
∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，
a3＝1＋d，由1－d＋＋1＋d＝，
得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
16．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，请说明理由．
解析　(1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，
所以a2＝＝＝，a3＝＝＝.
(2)假设存在一个实常数λ，
使得数列为等差数列，
则，，成等差数列，
所以＝＋，
所以＝＋，解之得λ＝1.
因为－＝－
＝－＝＝－，
又＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列．
17．设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N*都有2bn＝an＋an＋1且a＝bnbn＋1.
(1)求证：{}是等差数列；
(2)设a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．
解析　(1)证明：a＝bnbn＋1得an＋1＝，
∴an＝代入2bn＝an＋an＋1，
得2bn＝＋，
∴2＝＋，
∴{}是等差数列．
(2)由a1＝1，a2＝2得b1＝＝.
又由a＝bnbn＋1得a＝b1b2，
∴b2＝＝，
∴＝＝，＝＝.
∴{}的公差d＝－＝.
∴＝＋(n－1)·＝(n＋2)，
∴bn＝(n＋2)2，
∴a＝bn－1bn＝(n＋1)2·(n＋2)2，
∴an＝(n＋1)(n＋2)．
18．已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列{}是等差数列，并求x95的值．
解析　因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，
所以xn＝(n≥2)，
即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2)．又＝3，
所以数列{}是以3为首项，为公差的等差数列，
所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.
19．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．

甲　　　　　　　　乙
请你根据提供的信息回答问题．
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．
解析　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，得
∴得a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，得
∴得b2＝26.
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，
即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．
(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20 ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了．