数学第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列课时练习

5.2.1 等差数列(1)  -A基础练

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练习）下列数列不是等差数列的是（    ）

A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16

C． D．-3，-2，-1，1，2

【答案】D

【详解】由等差数列的定义得：A. ，故正确；B. ，故正确；

C. ，故正确；D.每一项与前一项的差不是同一个常数，故错误；故选：D

2．（2021·浙江高二课时练）数列中，，，那么这个数列的通项公式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，

则.故选：B

3．（2021·山东泰安一中高二月考）等差数列中，已知，，当时，则序号等于（    ）

A．90 B．96 C．98 D．100

【答案】D

【详解】由题意，解得．故选：D．

4．（2021·陕西汉中市高二期中）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（    ）

A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺

【答案】D

【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，

故可设该等差数列为，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，， ，，公差为，由题可得：

，即，解之得：，

所以立夏的日影子长为：（尺）.故选：D.

5．（多选题）（2021·全国高二课时练）下列数列中，是等差数列的是（    ）

A．1，4，7，10 B．

C． D．10，8，6，4，2

【答案】ABC

【详解】根据等差数列的定义，可得：A中，满足（常数），所以是等差数列；

B中，（常数），所以是等差数列；

C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；

D中，满足（常数），所以是等差数列.

6．（多选题）（2020·江苏海头高级中学高二月考）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（    ）

A．（d为常数） B．数列是等差数列

C．数列是等差数列 D．是与的等差中项

【答案】ABD

【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；

B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD

二、填空题

7．（2021·全国高二课时练习）已知数列是等差数列，若，，则公差_____.

【答案】

【详解】∵数列是等差数列设公差为，若， ，解得．

8．（2021·全国高二课时练习）在下面的数表中，已知每行､每列中的数都成等差数列.

那么位于表中的第n行第列的数是__________.

【答案】

【详解】由题意可得，第行的第一个数是，第行的数构成以为首项，为公差的等差数列，其中第项为.所以题表中的第行第列的数是.

9．（2021·全国高二课时练）在等差数列中，，（、），则的值为__________.

【答案】0

【详解】由题, ,

10.（2021·四川成都七中高一期中）《九章算术》是中国古代张苍、耿首昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 _________________升.(结果保留分数)

【答案】

【详解】记从下部算起第节的容量为，

由题意可知：数列为等差数列，设其公差为，

则，解得：，

，即从下部算起第节容量是升.

三、解答题

11．（2021·浙江杭州高二期中）在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求；

（3）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？

【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，

由，，

即，解得，

所以，数列的通项公式为.

（2）由（1）可得.

（3）令，解得，

所以，是数列中的第项.

12．（2021·上海高二课时练习）已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．

【答案】（1）an＝2n ；（2）bn＝4n .

【详解】

解：（1）∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4．

∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n．

（2）a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n．

当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，

∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n．