数学1.1.3 集合的基本运算课时训练

第一章  集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.1.3 集合的基本运算

1、设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B，A∩B.

【答案】A∪B＝{x|－1＜x＜3}，A∩B＝{x|1＜x＜2}

【解析】回顾集合的表示法和并集、交集的含义．利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求．用数轴表示描述法表示的数集．

将A＝{x|－1＜x＜2}及B＝{x|1＜x＜3}在数轴上表示出来，如下图所示的阴影部分即为所求．

由图得A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}，

A∩B＝{x|－1＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|1＜x＜2}．

【点评】本类题主要考查集合的并集和交集．用描述法表示的数集，运算时常利用数轴来计算结果.

2、已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)

(A)2个  (B)4个  (C)6个  (D)8个

【答案】B

【解析】因为M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，

所以M∩N＝{1,3}．

所以M∩N的子集共有2²＝4(个)．故选B.

3、已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，求A∩B.

【答案】A∩B＝{(1,2)}

【解析】集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A，B的交集即为方程组的解集．

所以A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝{(x，y)|}＝{(1,2)}．

4、设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求UA，UB.

【答案】UA＝{4,5,6,7,8}；UB＝{1,2,7,8}．

【解析】让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出UA，UB.

根据题意，可知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，

所以UA＝{4,5,6,7,8}；UB＝{1,2,7,8}．

5、求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．

【答案】4个。

【解析】满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.

6、设全集U＝R，A＝{x|x≤2＋}，B＝{3,4,5,6}，则(UA)∩B等于(　　)

A．{4}　　　　　　　　　B．{4,5,6}

C．{2,3,4}               D．{1,2,3,4}

【答案】B

【解析】U＝R，A＝{x|x≤2＋}，UA＝{x|x＞2＋}．而4、5、6都大于2＋，(UA)∩B＝{4,5,6}．

7、设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．

【答案】a＝1或a≤－1

【解析】明确集合A、B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A、B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解集，可以发现，BA，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A、B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A、B的关系，从数轴上分析求得a的值．

由题意得A＝{－4,0}．∵A∩B＝B，∴BA.∴B＝或B≠．

当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，

则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.

当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，

此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，即a＝－1符合题意．

若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4、0，

即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4、0.

则有解得a＝1，则a＝1符合题意．

综上所得，a＝1或a≤－1.

【点评】本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.

8、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．

【答案】m≤3

【解析】由A∪B＝A得BA，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．

解：∵A∪B＝A，∴BA.

又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠．

当B＝时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.

当B≠时，观察下图：

由数轴可得解得－2≤m≤3.

综上所述，实数m的取值范围是m＜2或－2≤m≤3，即m≤3.

9、某城镇有1 000户居民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户。

【答案】966

【解析】设这1 000户居民组成集合U，其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如下图所示．有彩电无空调的有819－535＝284户；有空调无彩电的有682－535＝147户，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966户．

10、设I为全集，M、N、P都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是(　　)

A．M∩[(IN)∩P]             B．M∩(N∪P)

C．[(IM)∩(IN)]∩P           D．M∩N∪(N∩P)

【答案】A

【解析】思路一：阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B、D.

思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内即在(IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(IN)∩P]．