高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.1 统计5.1.2 数据的数字特征教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.1 统计5.1.2 数据的数字特征教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，教师总结等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．理解数据的基本数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差与标准差等.
2．会用数字特征解决相关问题.
【教学重难点】
1．基本数字特征.
2．数字特征的应用.
【教学过程】
一、问题导入
如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比.
高一（1）班期中考试语文成绩
69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81
73 66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88
高一（2）班期中考试语文成绩
76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78
70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84
二、新知探究
1．利用概念求平均数、中位数、众数
【例】某电冰箱专卖店出售容积为182 L、185 L、228 L、268 L四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就做一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．
（1）这组数据的平均数有实际意义吗？
（2）这组数据的中位数、众数分别是多少？
（3）专卖店总经理关心的是中位数还是众数？
【解】（1）这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值．
（2）这组数据共有110个，中位数为228，众数为228．
（3）专卖店总经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228 L型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．
【教师总结】
1．平均数
（1）eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )xi＝nt；
其中符号“∑”表示求和，读作“西格玛”.
（2）求和符号的性质：
①eq \i\su(i＝1,n, )(xi＋yi) ＝eq \i\su(i＝1,n, )xi＋eq \i\su(i＝1,n, )yi；
②eq \i\su(i＝1,n, )( kxi) ＝keq \i\su(i＝1,n, )xi ；
③eq \i\su(i＝1,n, )t＝nt；
④eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(axi＋b)＝aeq \(x,\s\up6(－))＋b．
2．中位数、百分位数
（1）如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq \f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数．
（2）设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，x3，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取eq \f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．
特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．
3．众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
2．利用三数——平均数、众数、中位数解决问题
【例】某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．
【解】（1）甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
所以候选人丙将被录用．
（2）甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76．3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72．2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72．8，
所以候选人甲将被录用．
3．极差、方差与标准差
【例】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．
甲、乙两人射箭成绩统计表
（1）a＝________；eq \(x,\s\up6(－))乙＝________；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【解】（1）由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则a＝30－7－7－5－7＝4，eq \(x,\s\up6(－))乙＝30÷5＝6，
故答案为：4，6；
（2）如图所示：
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1．6，
由于seq \\al(2,乙)＜seq \\al(2,甲)，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
【教师总结】极差、方差与标准差：
（1）极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
（2）方差：s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2．
（3）如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；
（4）方差的算术平方根为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度．
三、课堂检测
1．已知一组数据2，1，x，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是( )
A．2 B．2．5
C．3 D．5
解析：选B．由众数的意义可知x＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为eq \f(2＋3,2)＝2．5．
2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是eq \f(1,3)，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为( )
A．2，eq \f(1,3) B．2，1
C．4，eq \f(2,3) D．4，3
答案：D
3．样本101，98，102，100，99的标准差为( )
A．eq \r(2) B．0
C．1 D．2
解析：选A．样本平均数eq \(x,\s\up6(－))＝100，方差为s2＝2，
所以标准差s＝eq \r(2)，故选A．
4．eq \i\su(i＝1,5, )（2i－1）＝ .
解析：eq \i\su(i＝1,5, )(2i－1)＝1＋3＋5＋7＋9＝25．
答案：25
5．甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．
解析：由题意知eq \(x,\s\up6(－))乙＝6，seq \\al(2,乙)＝6答案：乙测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
小宇的作业：
解：eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,5)(9＋4＋7＋4＋6)＝6，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)[(9－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2]
＝eq \f(1,5)(9＋4＋1＋4＋0)
＝3．6．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7