高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.1.4 用样本估计总体教案

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【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
用样本的数字特征估计总体的数字特征
例1：甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
（1）分别计算两组数据的平均数及方差；
（2）根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
解：（1）eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2＋（103－100）2]＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1.
（2）由（1）知eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙，比较它们的方差，因为seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，故乙机床加工零件的质量更稳定．
规律方法：
（1）在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差或标准差），方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．
（2）关于统计的有关性质及规律：
①若x1，x2，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \(x,\s\up6(－))＋a；
②数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；
③若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．
探究点2：
频率分布直方图与数字特征的综合应用
例2：已知一组数据：
125 121 123 125 127 129 125 128 130 129
126 124 125 127 126 122 124 125 126 128
（1）填写下面的频率分布表：
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．
解：（1）频率分布表如下：
（2）
（3）在[124.5，126.5）中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×eq \f(5,8)＝125.75，事实上，中位数为125.5．使用“组中值”求平均数：eq \(x,\s\up6(－))＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上，平均数的精确值为eq \(x,\s\up6(－))＝125.75．
eq \a\vs4\al()规律方法：
（1）利用频率分布直方图求数字特征：
①众数是最高的矩形的底边的中点；
②中位数左右两侧直方图的面积相等；
③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
（2）利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．
二、课堂总结
1．简单随机抽样的数字特征
一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征．特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大．
一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可．
2．分层抽样的数字特征
我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq \(x,\s\up6(－))，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq \(y,\s\up6(－))，方差为t2.则eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,m)eq \i\su(i＝1,m,x)i，s2＝eq \f(1,m)eq \i\su(i＝1,m, )（xi－eq \(x,\s\up6(－))）2，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,y)i，t2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )（yi－eq \(y,\s\up6(－))）2.
如果记样本均值为eq \(a,\s\up6(－))，样本方差为b2，则可以算出
eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(1,m＋n)（eq \i\su(i＝1,m, )xi+eq \i\su(i＝1,n,y)i）．
三、课堂检测
1．甲乙两名学生六次数学测验成绩（百分制）如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是（ ）
A．③④B．①②④
C．②④D．①③
解析：选A.甲的中位数为81，乙的中位数为87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)（76＋72＋80＋82＋86＋90）＝81，乙的平均分eq \(x,\s\up6(－))′＝eq \f(1,6)（69＋78＋87＋88＋92＋96）＝85，故②错，③对，排除C，故选A.
2．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为（ ）
A．20B．30
C．40D．50
解析：选B．样本数据落在[15，20]内的频数为：100×[1－5×（0.04＋0.10）]＝30．
3.如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是________．
解析：设污损的叶对应的成绩为x，由茎叶图可得，89×5＝83＋83＋87＋x＋90＋99，所以x＝3.故污损的数字是3．
答案：3
4．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
（1）填写下表：
（2）请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．
解：（1）乙的打靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.所以eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,10)（2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10）＝7；乙的打靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是eq \f(7＋8,2)＝7.5；甲的打靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：
（2）①甲、乙的平均数相同，均为7，但seq \\al(2,甲)＜seq \\al(2,乙)，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙打靶成绩比甲好．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上（包含9环）的次数比甲多2次，可知乙的打靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．教学重难点
教学目标
核心素养
用样本的数字特征估计总体的数字特征
理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法，会分析实际问题
数学抽象、数学运算
用样本分布估计总体分布
能够利用频率分布直方图、茎叶图等解决统计问题
逻辑推理、数学运算
分组
频数累计
频数
频率
[120.5，122.5）
[122.5，124.5）
[124.5，126.5）
[126.5，128.5）
[128.5，130.5]
合计
分组
频数累计
频数
频率
[120.5，122.5）
2
0.1
[122.5，124.5）
3
0.15
[124.5，126.5）
8
0.4
[126.5，128.5）
4
0.2
[128.5，130.5]
3
0.15
合计
20
1
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3