高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用教案及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用教案及反思，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
2．熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用.
【教学重难点】
用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
【教学过程】
一、问题导入
如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45°的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行.
问题1 水平方向OA上的拉力多大？
问题2 物重G是多少？
提示1 200×cs 45°＝100eq \r(2)(N)，方向向右.
提示2 200×sin 45°＝100eq \r(2)(N).
二、新知探究
1．用向量解决平面几何问题
【例1】 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
（1）求AO∶OF与CO∶OE的值；
（2）证明AF，BD，CE交于一点O.
（1）解 因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
又因为E，F都是中点，所以
eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(EB,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(EF,\s\up6(→)).
另外，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(EO,\s\up6(→))＋2eq \(OF,\s\up6(→)).
设eq \(AO,\s\up6(→))＝seq \(OF,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))＝teq \(OE,\s\up6(→))，
则有seq \(OF,\s\up6(→))－teq \(OE,\s\up6(→))＝2eq \(EO,\s\up6(→))＋2eq \(OF,\s\up6(→))，即
(s－2)eq \(OF,\s\up6(→))＝(t－2)eq \(OE,\s\up6(→)).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1．
（2）证明 要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可.
由（1）可知，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FO,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AF,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，
又eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，∴eq \(BO,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))，又eq \(BO,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点.
规律方法 利用向量线性运算解决几何问题的思路：
（1）把几何元素化为向量；
（2）进行向量的线性运算；
（3）把结果翻译成几何问题.
【训练1】 如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积.
解 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b为一组基底.
则eq \(AE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(2,3)b，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋b．
因为点A，P，E和D，P，C分别共线，
所以存在λ和μ使eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＝λa＋eq \f(2,3)λb，eq \(DP,\s\up6(→))＝μeq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)μa＋μb．
又因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)＋\f(1,3)μ))a＋μb，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)＋\f(1,3)μ，,\f(2,3)λ＝μ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(6,7)，,μ＝\f(4,7)，))
所以S△PAB＝eq \f(PD,CD)S△ABC＝eq \f(4,7)×14＝8 (cm2)，
S△PBC＝eq \f(PE,AE)S△ABC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(6,7)))×14＝2 (cm2)，
故S△APC＝14－8－2＝4 (cm2).
2．用向量坐标解决平面几何问题
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).
设|eq \(DP,\s\up6(→))|＝λ(λ>0)，
则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)λ，0))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)λ，\f(\r(2),2)λ))，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(\r(2),2)λ)).
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)λ－a，－\f(\r(2),2)λ))，
eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)λ，a－\f(\r(2),2)λ))，
因为|eq \(EF,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)λ－a))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)λ))eq \s\up12(2)＝λ2－eq \r(2)aλ＋a2，
|eq \(PA,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)λ))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(\r(2),2)λ))eq \s\up12(2)＝λ2－eq \r(2)aλ＋a2，
所以|eq \(EF,\s\up6(→))|＝|eq \(PA,\s\up6(→))|，即PA＝EF.
规律方法 用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键.
【训练2】 证明直角三角形ABC斜边AB上的中线CD等于斜边AB的一半.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系.设C(0，0)，A(a，0)，B(0，b).
则AB＝eq \r(a2＋b2)，中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b,2)))，
即eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b,2)))，OD＝|eq \(OD,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋b2)，即CD＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋b2)，故CD＝eq \f(1,2)AB．
3．平面向量在物理中的应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
解 设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0.
以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则eq \(CF,\s\up6(→))＝－f2，eq \(CE,\s\up6(→))＝－f1，eq \(CW,\s\up6(→))＝f.
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∠FCE＝90°，
∴四边形CEWF为矩形.
∴|eq \(CE,\s\up6(→))|＝|eq \(CW,\s\up6(→))|cs 30°＝5eq \r(3)，
|eq \(CF,\s\up6(→))|＝|eq \(CW,\s\up6(→))|cs 60°＝5．
即A处所受力的大小为5eq \r(3) N，B处所受力的大小为5 N.
规律方法 由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.
【训练3】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.
解 依据物理知识，有三个相对速度：汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即：v风地＝v风车＋v车地，如图，根据向量加法的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段eq \(AD,\s\up6(→))是▱ACDB的对角线.因为|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4 m，∠ACD＝30°，
|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2，
所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，
|eq \(DC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs 30°＝2eq \r(3)(m/s).
所以风的实际方向是吹向正南方向；汽车速度的大小为2eq \r(3) m/s.
三、课堂小结
1．通过学习平面向量线性运算的应用，培养运算、分析和解决实际问题的能力，提升直观想象、数学运算和逻辑推理素养.
2．对于解决平面几何问题，首先要结合图形的特点，确定能否建立平面直角坐标系是关键.
3．力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成.
四、课堂检测
1．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9，1) B．(1，9)
C．(9，0) D．(0，9)
解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).
答案 A
2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝16，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，则|eq \(AM,\s\up6(→))|＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析 由|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝16，得|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，
|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，
而|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AM,\s\up6(→))|，故|eq \(AM,\s\up6(→))|＝2，故选C．
答案 C
3．若eq \(OF1,\s\up6(→))＝(2，2)，eq \(OF2,\s\up6(→))＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为________.
解析 ∵F1＋F2＝(0，5)，∴|F1＋F2|＝eq \r(02＋52)＝5．
答案 5
4．如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2).
求证：点E，O，F在同一直线上.
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝m，eq \(AD,\s\up6(→))＝n，由eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2)，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴eq \(FO,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)m＋eq \f(1,2)(m＋n)＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n，
eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(m＋n)－eq \f(1,3)m
＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n.∴eq \(FO,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→)).
又O为eq \(FO,\s\up6(→))和eq \(OE,\s\up6(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上.