高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.1 正弦函数的性质与图像教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.1 正弦函数的性质与图像教案，共12页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习1，变式练习2，变式练习等内容，欢迎下载使用。

《正弦函数的性质及图象》是人教B版必修3第7章第三节的第一课时，其主要内容是正弦函数的图象及性质。过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学习过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数的图象及性质，为今后余弦函数、正切函数的图象与性质，函数的图象的研究打好基础，因此，本节的学习有着及其重要的地位。本节课的主要内容是利用描点法画出的图象，介绍“五点作图法“，再利用图象研究正弦函数的主要性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性），通过正弦函数的图象，性质的应用，培养学生的观察力、数形结合的数学思想，提高学生分析问题，解决问题的能力。
【教学重点】
五点法作图、正弦函数的性质
【教学难点】
函数周期性的理解，正弦函数性质的理解和应用
问题1：正弦函数的定义
知识点1 正弦函数的定义
正弦函数：对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数．
用正弦线可以直观地表示正弦函数地函数值，如图，就是角x的正弦线。
问题2：正弦函数的性质
知识点2：定义域与值域
因为任意角都有正弦，所以的定义域为R，由图中的正弦线可以看出，长度的最大是1，最小是0，因此可知的值域为，而且
当且仅当时，函数的最大值为；
当且仅当时，函数的最小值为.
例1.已知，求t的取值范围。
解：因为，所以
由此解得
知识点3：奇偶性
由诱导公式，可知正弦函数为奇函数，其图象关于原点中心对称。
【对点快练】
函数y＝sin(x＋π)的图像关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝eq \f(π,2)对称
答案：B 因为y＝sin(x＋π)＝－sin x为奇函数，所以其图像关于原点对称．
由诱导公式可知，当自变量x的值每增加或减少的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性。
知识点4：正弦函数的周期性
1．周期函数定义：
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
2．正弦函数的周期：正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
【对点快练】
1．函数y＝2sin x－1的最小正周期是____________．
答案：2π y＝sin x的最小正周期是2π，所以y＝2sin x－1的最小正周期是2π.
2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝____________.
答案：－2 因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，所以f(7)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
由是以为周期的周期函数可知，我们只要知道正弦函数在一个长度为的区间内的单调性，就能得到正弦函数在R上的单调性。
由图中的正弦线可以看出，正弦函数在区间上，从-1增大到1，是递增的；在区间上，从1减少到-1，是递减的。
知识点5：单调性
一般地，正弦函数在区间上递增，在上递减。
【对点快练】
在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是( )
A．[0，π] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．[π，2π]
答案：C 由正弦曲线知y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数．
例2.不求值，比较 和的大小。
解：因为
又因为在区间内递增，且，所以

因此
【变式练习1】
(1)已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
(2)函数y＝sin eq \f(π,2)x的最小正周期是____________．
(3)比较sin(－320°)与sin 700°的大小．
答案：(1)A 函数定义域为R，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin x＋|a|，所以|a|＝0，从而a＝0.
(2)4 令z＝eq \f(π,2)x，且y＝sin z的最小正周期为2π.
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋2π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋4))
∴由周期函数定义，T＝4是y＝sin eq \f(π,2)x的最小正周期．
(3)解 ∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°，
sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)，
又函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，
∴sin 40°>sin(－20°)，∴sin(－320°)>sin 700°.
【变式练习2】
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5,2)π))；
(2)f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\r(1＋sin2x))).
解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5,2)π))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝eq \r(2)cs 2x，显然有f(－x)＝f(x)成立．∴f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5,2)π))为偶函数．
(2)函数定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＋f(x)＝lg(－sin x＋eq \r(1＋sin2x))＋lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))
＝lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))(－sin x＋eq \r(1＋sin2x))
＝lg(1＋sin2x－sin2x)
＝lg1＝0，
则f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\r(1＋sin2x)))为奇函数．
知识点6：正弦函数的零点
正弦函数y＝sin x的零点是 kπ(k∈Z).
【对点快练】
函数y＝2sin x的零点是____________．
答案:kπ，k∈Z 令y＝0，得x＝kπ，k∈Z，所以函数的零点是kπ，k∈Z.
例3.求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值。
（1）； （2）
（3）
解：（1）函数与同时取得最大值和最小值，所以，
当时，取得最大值-1；
当时，取得最大值-3.
（2）令，则

于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了。
因为时，，所以，因此
从而，此时即；
，此时.
(3)令 则

因为时，，因此
从而此时；
此时即或.
【变式练习1】
求函数y＝1－2cs2x＋5sin x的最大值和最小值．
解 y＝1－2cs2x＋5sin x
＝2sin2x＋5sin x－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(5,4)))2－eq \f(33,8).
令sin x＝t，则t∈[－1,1]，则y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(5,4)))2－eq \f(33,8).
因为函数y在[－1,1]上是增函数，所以当t＝sin x＝－1时，函数取得最小值－4，当t＝sin x＝1时，函数取得最大值6.
【变式练习2】
本例题中若限定x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))，函数解析式不变，如何求函数的最大值与最小值？
解 y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(5,4)))2－eq \f(33,8).
令sin x＝t，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，则y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(5,4)))2－eq \f(33,8).
因为函数y在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上是增函数，所以当t＝sin x＝－eq \f(1,2)时，函数取得最小值－3，当t＝sin x＝eq \f(1,2)时，函数取得最大值2.
问题3：正弦函数的图象
由是以为周期的周期函数可知，只要知道正弦函数在一个长度为的闭区间的图象，就可以得到正弦函数在R 上的图象。
下面我们探讨正弦函数在区间上的图象。
又因为是奇函数，所以在和上的图象关于原点对称，因此只要探讨在上的图象即可。
取中的几个值，列表如下：
在平面直角坐标系中描点，如图所示，又根据在上递增，在上递减等信息，可知将这些点连接起来，形成光滑的曲线，就可以得到在上的函数图象。然后作这一段图象关于原点对称的图象，最后得到在上的图象，如图所示。
由于的周期是，所以正弦函数在上的函数图象与其在的函数图象形状完全相同，因此不难得到正弦函数的图象，如图所示。
一般地，的函数图象称为正弦曲线。
由图象可知，正弦曲线是轴对称图形，对称轴为 ，正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为，另外，这两个结论也可以从关系式和得到，其中。
知识点7 正弦函数的图像
1．一般地，函数y＝sin x的图像称为正弦曲线，利用五点法作正弦曲线，这五个点是：
(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
y＝sin x，x∈[0,2π]的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像．
2．正弦函数y＝sin x的图像对称轴为x＝eq \f(π,2)＋kπ，对称中心为(kπ，0)，其中k∈Z.
【对点快练】
1．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))
C．(π，0) D．(2π，0)
答案：A 易知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,2)))不是关键点．
2．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像与函数y＝1的图像的交点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A 当x＝eq \f(π,2)时，y＝1，所以函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像与函数y＝1的图像的交点个数是1个．
例4.用五点法作函数的图象。
解：找关键的五个点，列表如下：
描点作图，如图所示：
由图可以看出对于任意一个，函数的函数值比的函数值大1，因此的图象可由的图象向上平移一个单位得到。
【变式练习】
用“五点法”作出下列函数的简图．
y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]．
解 列表：
在直角坐标系中描出五点(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))，(π，1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图像．
小结：
1．三角函数的最值、单调区间及三角函数值的大小比较等问题，能结合图像时一定要联系图像进行综合思考，将数形有机结合起来．
2．讨论三角函数的所有性质，都要在其定义域内进行．
3．三角函数图像直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图像是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦函数的图像特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图像．
考点
教学目标
核心素养
正弦函数的性质探究
探究并掌握的周期性、奇偶性和最值
数学抽象、数学运算
正弦函数的性质的应用
会利用正弦函数额性质解决一些简单的三角函数问题
数学运算
五点法作图
会利用五点法画出正弦函数的图象
直观想象，数学运算
X
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋2sin x
1
3
1
－1
1