人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数本节综合与测试教案设计

7.2.5  综合复习（1）

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，再熟悉和其他领域中具有重要的作用。对于这部分内容，新课程标准指出，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用，上述目标包含2个方面：一是任意角的概念和弧度制的学习为基础，理解三角函数的定义，掌握三角函数的性质。事实上，在初中，学生已经学习了锐角三角函数的定义，也学会了利用计算器由已知锐角求它的三角函数值或者由已知三角函数值求与之对应的锐角，仅仅利用锐角三角函数来解决与这些角有关的问题显然的不够的，因此，把角的概念推广到任意角的情形，并研究它们的性质，进而利用这些性质解决问题理应作为这一部分内容教和学的目标。二是通过实例分析，使学生体会三角函数在解决实际问题中的应用，三角函数是一类重要的熟悉模型，许多具有周期变化规律的问题都可以用三角函数模型来刻画。因此，在三角函数的学习中，自然要把体会三角函数在解决实际问题中的价值和作用，增强学生的应用意识，并能利用三角函数模型解决一些实际问题，作为本质的学习目标之一。

本节课是人教B版必修3《三角函数》第一大节的综合复习课，是对前半部分角的推广、弧度制、任意角三角函数、同角三角函数的关系、诱导公式等知识的进一步巩固和提升。

【教学重点】

角的推广及表示、弧度制、任意角三角函数定义、同角三角函数关系式、诱导公式

【教学难点】

同角三角函数关系式和诱导公式的综合应用

题型1：弧长公式与面积公式的应用

1.在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝，所以l＝αr，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积．

2. 若l是扇形的弧长，r是扇形的半径，则扇形的面积公式是S＝lr.

例1．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.

（1）若，，求扇形的弧长l；

（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【解析】

解：（1），

.

（2）由已知得，，所以，所以当时，取得最大值25，此时，.

【变式练习】

已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.

（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；

（2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，

当大轮转动一周时，

大轮转动了48个齿，

小轮转动周，

即．

．

（2）当大轮的转速为时，

．

小轮转速为，

小轮周上一点每转过的弧度数为：．

小轮的半径为，

小轮周上一点每转过的弧长为：．

题型2：定义法求三角函数值

对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，称为角α的正弦，记作sin α；称为角α的余弦，记作cos α，因此sin α＝，cos α＝.

当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝.

角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数．

例2.在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点.

（1）求的值；

（2）设，角的终边与角的终边关于对称，求的值.

【答案】（1）当时，，当时，；（2）

【解析】

解：（1）因为，，所以，

当时，；

当时，.

（2）因为角的终边经过点，

由角的终边与角的终边关于对称可得，角的终边经过点，

又，则，

故.

【变式练习】

已知角终边上一点，且，求和的值.

【答案】

【解析】

，解得，，

.

题型3：利用三角函数符号判断角所在象限

当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α>0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α<0.

当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cos α>0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cos α<0.

当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α>0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α<0.

如图所示：

例3（1）已知角是第三象限角，且，则角的终边在  （    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】

由题意，角是第三象限角，所以，

则，

当为偶数时，是第四象限角，当为奇数时，是第二象限角，

又由，即，所以是第四象限角，故选D.

(2) 在中，若，则是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【解析】

,

,

中有且只有一个钝角，

所以为钝角三角形，

故选：B

【变式练习】

（1）．已知，则角的终边所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】

由可知：则

的终边所在的象限为第四象限

故选

（2）．已知A为的一个内角，且，则的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定

【答案】B

【解析】

因为，

所以平方得，

即，

得，

因为为三角形内角，所以，

所以，

故为钝角.

故选：B.

题型4：商数关系和平方关系求三角函数值

如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的点，记r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝，由此可得sin2 α＋cos2 α＝1，tan_α＝.

例4.设A是三角形的内角，且sinA和cosA是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根.

(1)求a的值；

(2)求tanA的值．

【答案】（1）（2）

【解析】

 (1)∵sinA和cosA是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根，

∴由韦达定理得将①两边分别平方得sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝a2，即1－a＝，解得a＝－25或a＝1.当a＝－25时，sinA＋cosA＝－5不合题意，故a＝1.

(2)由得sinA>0，cosA<0，∴sinA＝，cosA＝－.∴tanA＝＝－.

【变式练习】

已知关于的方程的两个根为

求： （1）的值；

（2）实数的值；

（3）方程的两个根及此时的值

【答案】（1）；（2）.（3）或.

【解析】

解：（1）因为

（2）因为

，故

题型5：齐次法求值

例5．已知＝2，计算下列各式的值.

(1) ；           (2)sin2α－2sin αcos α＋1.

【答案】(1) .

(2) .

【解析】

由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.

(1)方法一：原式＝＝＝.

方法二：原式＝＝＝＝.

(2)原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.

【变式练习】

已知，

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由①，两边平方，②，

又∵，∴，

由①②解得，所以

（2）原式.

题型6：整体代换法诱导公式求值

诱导公式（一）                            诱导公式（二）

诱导公式（三）                            诱导公式（四）

诱导公式（五）                            诱导公式（六）

诱导公式（七）                            诱导公式（八）

例6.已知＝2，计算下列各式的值.

(1) ；           (2)sin2α－2sin αcos α＋1.

【答案】(1) .

(2) .

【解析】

由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.

(1)方法一：原式＝＝＝.

方法二：原式＝＝＝＝.

(2)原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.

【变式练习】

已知，

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由①，两边平方，②，

又∵，∴，

由①②解得，所以

（2）原式.

小结：

（1）弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆．

（2）三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．

（3）利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值，关于sin α，cos α的齐次式，不管是等式还是给定条件后的分式，可同除以cos α化成α的正切函数进行相关计算．

（4）诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的关键：一是符号问题，二是函数名称问题．要熟记口诀“奇变偶不变，符号看象限”，并在解题过程中去理解和掌握．