高中数学第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.4 诱导公式教案

7.2.4 诱导公式（1）

本节课是人教B版必修3第二大节的第4课时，是三角函数这一章中的一个重要内容，它涉及三角函数的求值，化简、证明等应用，而且公式推导过程所渗透的类比、划归、分类讨论、整体代换等思想方法，都是学习和工作中必备的数学素养。从知识体系来看：《诱导公式》是《弧度制》与《三角函数定义》内容的延续，不仅能加深对三角函数的理解，也为以后学三角函数的图象与性质做好铺垫。求三角函数值是三角函数中的重要问题之一，诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求角的三角函数值问题。本节课主要介绍诱导公式（一）~（四）的内容，诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一半的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法居于重大意义。

【教学重点】

诱导公式（一）~（四）的推导、利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明

【教学难点】

诱导公式的综合应用

引入：

在初中，我们已经知道一些锐角的三角函数值及它们之间的一些关系，例如：

思考：

问题1：角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系

我们知道，一个角的三角函数值由它终边上的点决定，由此可知，终边相同的角，同名三角函数值相等（“同名”是指同是正弦、余弦、正切）。

知识点1　角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系

诱导公式（一）

终边相同的角，同名三角函数值相等(“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同)．

不难看出，α与α＋k·2π(k∈Z)的终边相同，所以当k为整数时，有

作用：利用上述公式（一），我们可以把绝对值大于的任意角的三角函数值问题转化为角的同名三角函数值问题。

【对点快练】

1．sin 390°＝____________

答案：　sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝.

2．cos＝____________.

答案：　cos＝cos＝cos ＝.

例1.求下列各值

（1）    （2）   （3）

解：（1）

（2）

（3）

问题2：角的旋转对称

如图所示，假设角的终边是OA，射线OB和OC关于OA对称，，那么射线OB是角的终边，射线OC是角的终边。

知识点2：

角的终边和角的终边关于角的终边所在的直线对称。

一般地，角的终边和角的终边关于角的终边所在的直线对称。

（1）和的终边关于角的终边所在的直线（即x轴）对称；

（2）和的终边关于角的终边所在的直线（即y轴）对称；

(3) 和的终边关于角的终边所在的直线（即y=x轴）对称；

问题3：角α与－α的三角函数值之间的关系

如图所示，设与的终边与单位圆分别交于和，则

。

知识点3　角α与－α的三角函数值之间的关系

诱导公式（二）

1．α和－α的终边关于角＝0的终边所在的直线(即x轴)对称．

2．用正角的三角函数值表示负角的三角函数值，公式为：

作用：利用公式（二），我们可以用正角的三角函数值表示负角的三角函数值。

【变式练习】

1．tan＝____________.

答案：－　tan＝－tan ＝－.

2．cos＝____________.

答案：　cos＝cos ＝cos＝cos ＝.

例2.求下列各值

（1）    （2）   （3）   （4）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

问题4：角α与π±α的三角函数值之间的关系

如图所示，设与的终边与单位圆分别交于和 则

知识点4　角α与π±α的三角函数值之间的关系

1．α和π－α的终边关于角＝的终边所在的直线(即y轴)对称．

2．角α与π±α的三角函数值之间的关系为：

诱导公式（三）

诱导公式（四）

作用：利用公式（四），我们可以用的三角函数值表示为的三角函数值。

利用公式（三），我们可以用的三角函数值表示为的三角函数值。

例3，求下列各值

（1）     （2）    （3）

解：（1）；

（2）；

（3）

例4.求下列各值

（1）      （2）   （3）

解：（1）；

（2）；

（3）

【变式练习1】

求下列各三角函数值．

(1)sin；(2)cos ；

(3)tan(－855°)；(4)sin.

解　(1)sin＝－sin＝－sin

＝－sin ＝－sin＝－sin＝－.

(2)cos ＝cos＝cos＝－cos＝－.

(3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)

＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.

(4)sin＝sin＝sin ＝.

【变式练习2】

求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．

解　sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°

＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)

＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°

＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°sin(180°＋30°)－tan 45°

＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°

＝×－×－1

＝.

例5.化简

解：

【变式练习】

化简下列各式：(1)；

(2)；

解　(1)原式＝

＝

＝＝－cos2α.

(2)原式＝

＝

＝＝－cos θ.

小结：

1.诱导公式（一）~（四）

(1)    (2)

(3)    (4)

2.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤[来源:学科网]

(1)“负化正”：将负角化为正角；   (2)“大化小”：将角化为0°到360°间的角；

(3)“小化锐”——将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．

3. 诱导公式是一个有机的整体，解题时要根据角的特征，选取适当的公式进行化简计算，对形如nπ±α型的角，要注意对n进行讨论．