高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算当堂达标检测题

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一、单选题
1．下列各命题中，假命题的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，一定等于弧度
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关
【答案】D
【解析】
A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，正确；
B选项，一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，正确；
C选项，根据弧度的定义，一定等于弧度，正确；
D选项，用角度制度量角，与圆的半径长短无关，故D错.
故选：D.
2．化为弧度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
.
故选：B.
3．（ ）
A．85°B．80°C．75°D．70°
【答案】C
【解析】
，.
故选：C.
4．若是三角形的最小内角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
设是三角形的最小内角，则即，解得.
故选D.
5．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设扇形所在圆的半径为,扇形的弧长为
由弧度定义可知,即
而扇形的周长为
代入可得
解得
所以扇形面积为
故选:C
二、填空题
6．填表
【答案】详见解析
【解析】
根据角度和弧度的对应关系，填写好表格如下：
7．弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.现已知一个扇形的半径为米，圆心角为，圆心角所对的弧长为米，则角的弧度数为__________.
【答案】
【解析】
角的弧度数为
故答案为：
8．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了1小时，则分针转过的角的弧度数是_______.
【答案】
【解析】
由于经过小时，分针转过个周角，因周角为，又顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是.
故答案为：.
三、解答题
9．已知一个扇形的周长为定值,求其面积的最大值,并求此时圆心角的大小.
【答案】时,扇形面积最大为.
【解析】
设扇形面积为,半径为,圆心角为,则扇形弧长为,
所以.
故当且时,扇形面积最大为.
10．自行车大链轮有齿，小链轮有齿，当大链轮转过一圈时，小链轮转过的角度是多少？合多少弧度？
【答案】864°；
【解析】
当大链轮转过一圈时，小链轮转过，转化为弧度是.
【提升练习】
一、单选题
1．如图所示，扇形OAB中，弦AB的长等于半径，则弦AB所对的圆心角的弧度数满足（ ）
A．B．
C．D．以上都不是
【答案】A
【解析】
由题意,,故是正三角形,即.
故选:A.
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=，则图中阴影部分的面积为( )
A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+1
【答案】B
【解析】
如图，连，因为AB=AC，∠ABC=45°，所以∠ACB=45°且，所以∠ODB=45°，则，则，又圆的半径为，故阴影部分的面积为，应选答案B．
3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
（参考数据：）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】B
【解析】
由题：“弓”所在弧长，其所对圆心角，
两手之间距离.
故选：B
4．已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．B．或2C．1D．或1
【答案】D
【解析】
解：由题意得解得或故或.
故选：D
5．矩形纸片中，将其按图的方法分割，并按图的方法焊接成扇形；按图的方法将宽 等分，把图中的每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形；按图的方法将宽 等分，把图中的每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形；……；依次将宽 等分，每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形.当时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为 （ ）
A．小于B．等于C．大于D．大于
【答案】C
【解析】
将宽BC n等分，当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90°．
故答案为：C。
二、填空题
6．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.
【答案】.
【解析】
设时针转过的角的弧度数的绝对值为，
由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，
由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，
故答案为.
7．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________.
【答案】12＋π360，12－π360
【解析】
设两个角的弧度分别为x,y，又由1∘=π180rad，
所以x+y=1x-y=π180，解得x=12+π360y=12-π360，
即所求两角的弧度数分别为12+π360,12-π360.
8．若扇形的圆心角为，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为____________.
【答案】
【解析】
设扇形的半径为R，内切圆半径为r，∵扇形的中心角，
∴R−r=2r，∴3r=R，
∴扇形的面积
内切圆面积为πr2，
扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为2:3.
三、解答题
9．园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
【答案】（1）见解析（2）337.5平方米
【解析】
试题分析：（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得，由及，解出，根据二次函数最值取法得到当时，最大
试题解析：解：（1）由题意，弧长为，扇形面积为，
由题意，即，
即，
所以，所以，，则，
所以当时，面积的最大值为400.
（2）即，代入可得
或，
又，
当与不符，
在上单调，当时，最大平方米，此时.
10．在如图所示的圆中，已知圆心角，半径与弦垂直，垂足为点．若的长为，求的长及其与弦所围成的弓形的面积．
【答案】的长为，弓形的面积为．
【解析】
解：设圆的半径为，的长为，由题意，得．
∵，∴，∴，∴，∴，
．
又，，
．
故的长为，弓形的面积为．
角度数
0°
30°
60°
120°
150°
270°
弧度数
角度数
0°
30°
60°
120°
150°
270°
弧度数