数学必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算导学案

这是一份数学必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算导学案，共9页。学案主要包含了学习重点，学习难点，对点快练，变式练习等内容，欢迎下载使用。


【学习重点】
弧度制的定义、弧度制和角度值的换算、弧度制下扇形的弧长、面积公式
【学习难点】
弧度制的概念与角度的换算
问题1.弧度制
思考：角度是怎么定义的？
把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为 度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制，角度制还规定1度等于 分，1分等于 秒．
将折叠扇抽象未如图所示的图形，可以看成，弧与弧都与角对应，但时，它们的弧长与始终 ，其原因在于 。
一般地，如果角是由射线OP绕它的端点旋转形成的，如图（2）所示，则在旋转过程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧都对应同一个角，可以猜想，这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数，即
事实上，设，弧的长为，半径，则，因此

这个等式右端 半径，这表示弧长比半径的值 半径，而只与 的大小有关。
知识点1 弧度制
我们称弧长与半径比值的这个常数称为圆心角的弧度数，长度等于的圆弧所对的圆心角为
的角，记作1 rad，这种以弧度为单位来度量角的制度称为
如下图，因为的长度等于半径，所以所对的圆心角就是
弧度的角。
注：今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数。例如，表示是2的角，表示的角的正弦。
【对点快练】
1．下列说法正确的是( )
A．1弧度就是一度的圆心角所对的弧
B．一弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是一度的弧与一度的角之和
D．一弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
2．在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角所对的弧长____________．(填“相等”或“不相等”)
问题2：弧度制和角度值的换算
答：
知识点2 弧度制与角度制的换算
1．角度与弧度的关系：
2．设一个角的角度数为n，弧度数为α，则
例1.把化成弧度（用表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边。
例2.把化成角度数。
【变式练习】
将下列各角度与弧度互化．
(1)67.5°；(2)112°30′；(3)eq \f(9,4)π.
例3.把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角？
(1)－1 725°；(2)eq \f(64π,3)；(3)－4.
[变式探究] 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
知识点3．特殊角的弧度数
问题3: 弧长公式与扇形面积公式
知识点4 弧长公式
在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝eq \f(l,r)，所以 即弧长等于其所对应的圆心角的 与 的积．
例4.利用弧度制推导扇形的面积公式
其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径。
知识点5：扇形面积公式
若l是扇形的弧长，r是扇形的半径，则扇形的面积公式是
例5.已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【变式练习】
已知扇形周长为5，面积为1，求扇形圆心角的弧度数．
考点
学习目标
弧度制
掌握“1弧度的角”的定义，了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
弧度制和角度值的换算
掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数．
扇形的弧长、面积
掌握弧度制下扇形的弧长、面积公式，并运用公式解决相关问题
角度
0°
30°
45°
60°
90°

135°


270°
360°
弧度
0




eq \f(2π,3)

eq \f(5π,6)
π
eq \f(3π,2)