高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广学案，共10页。学案主要包含了学习重点，学习难点，对点快练，变式练习等内容，欢迎下载使用。


【学习重点】
任意角的概念、象限角与区间角的概念、掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角
【学习难点】
终边相同角的表示方法与确定
问题1：角的概念的推广
引入：初中是怎么定义角的？
（1）我们把有公共端点的两条 组成的图形称为角，这个公共端点称为角的 ，这两条射线称为角的 。
（2）角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置 到另一个位置所形成的图形。
（3）图中所示的大小为的角，即可以认为是OA 到OB所形成的，也可以认为是OB 到OA所形成的。
（4）以前学习的角，范围是
答：

知识点1 角的概念的推广
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为 ，这两条射线分别称为角的 ，按照 方向旋转而成的角称为正角，按照 方向旋转而成的角称为 ，当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为 ，这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也称为转角．
注：（1）上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的。因此，角的概念经过以上的推广之后，就包括 角、 角、 角。也就是说，角的大小是 的，由此，我们把角的概念推广到了任意角。
（2）作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量。如图（1），（2）所示的两个转角中，射线OA绕端点O旋转到OB时，旋转的绝对量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知：
利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义。
（1）例如，对于来说，如图（1）所示，射线OA 时针旋转到OB所形成的角为，OB 时针旋转到OC所形成的角为，则OA 时针方向旋转到OC所形成的角为： ；
（2）如图（2）所示，射线OA 时针方向旋转到OB所形成的角为，OB 时针方向旋转到OC所形成的角为，则OA 时针方向旋转到OC所形成的角为： 。
知识点2：角的加减法运算
1.射线OA绕端点O旋转到OB位置所形成的角，记作，其中OA叫做 ，OB叫做 ；
2.引入了正负角的概念之后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化为，这就是说， 。
【对点快练】
1．下列说法正确的是( )
A．最大角是180° B．最大角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以任意大小
2．喜洋洋步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60° D．－60°
问题2：象限角
为了方便起见，通常讲角放在平面直角坐标系中来讨论：
知识点3 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 上，角的 在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 任何象限．
例如，图（1）中的角都是第 象限角；图（2）中的角是第 象限角，是第 象限角，是第 象限角，不是象限角，其终边在 。
【对点快练】
1．下列哪个角是第三象限角( )
A．15° B．105°
C．215° D．315°
2．以下说法，其中正确的有( )
①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角
③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
知识点4 终边相同的角
一般地，角α＋k·360°(k∈Z)与角α的终边相同．任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍，因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，记为S＝{β| }.
【对点快练】
1．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )
A．－300° B．－60°
C．600° D．1 380°
2．已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为____________．
例1.如图所示，已知角的终边为射线OA，分别作出角的终边。
【变式练习】
下列命题
①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中不正确的序号为____________．
例2.分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式的元素写出来。
（1） （2）
【变式练习】
已知角α＝2 010°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
例3.写出终边在第一象限内的角的集合
【变式练习】
已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
例4.写出终边在x轴上的角的集合
【变式练习】
如图所示，则终边在图中所示直线的角的集合为____________．
例5. 已知α为第三象限角，则eq \f(α,2)是第几象限角？
【变式练习】
已知α角是第三象限角，则2α是第几象限角？
考点
学习目标
角的概念的推广
理解任意角的概念、象限角与区间角的概念．
角的表示
掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角.