数学必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦学案及答案

8.2.1 两角和与差的余弦

【学习重点】

两角和与差的公式及其变形的推导，应用公式进行求值、化简、变形

【学习难点】

两角和与差的公式及其变形的应用

引入

解答：

可以证明，对于任意与，都有

这就是两角差的余弦公式，通常记为。

证明：方法一：

设，则有              

在直角坐标系内作圆，并做出任意角，它们的终边分别交单位圆于点，单位圆与x轴交于，则.

且

方法二：

如图所示，在平面直角坐标系xoy中，设的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则

，因此

从而有：                                 

另一方面，由图可知，存在，使得

或                  

因此                   ，又因为，所以

故                  

利用可知：

当然，的值也可借助与来求，即

例1.利用证明以下诱导公式

（1）        (2)

借助以及诱导公式可以得到两角和的余弦公式，即

证明：

新知新学：

1．对任意角α与β，都有cos(α－β)＝                         ，这就是两角差的余弦公式，

简记为Cα－β.

2．两角和的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝                        

【对点快练】

1．cos 17°等于(　　)

A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°

B．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°         

C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°

D．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3°

2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝(　　)

A．　　　 B．　　　

C．　　　 D．－

例2.求的值。

例3.已知其中，求

例4.求的值。

【变式练习1】

(1)已知cos θ＝，θ∈，则cos＝____________.

(2)化简cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°＝____________.

【变式练习2】

已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，求cos(α＋β)．

例5. 已知α、β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．

【变式练习】

已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值．

例6.已知sin＝，且＜α＜，求cos α的值．

【变式练习1】

在本例中，若把α的范围改为：“π＜α＜π”，其他条件不变，又如何求cos α的值？

【变式练习2】

已知tan α＝4，cos (α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．