人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式教学设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式教学设计，共10页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习1，变式练习2，变式练习，变式练习3等内容，欢迎下载使用。

本节课是人教B版必修3《三角恒等变换》的第三课时，是在学生学过三角函数时的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式，它为今后研究三角函数图象和性质等问题提供了又一必备的要素。因此它起着承上启下的作用，同时也是培养了学生逻辑思维能力和划归的数学思想方法。本节课的知识目是倍角公式和两角和公式的内在联系，并熟练倍角公式结构，培养学生利用划归思想导出倍角公式，了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式的结构。通过本节的学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神。
【教学重点】
二倍角公式与两角和与差的正弦余弦正切公式的区别与联系、二倍角公式及其变形公式的应用
【教学难点】
二倍角公式及其变形公式的应用
如若在两角和的正弦公式中，令，则可求出的公式，即

类似的，可得
因此：
这3个公式称为倍角公式。
需要注意的是，因为，所以也可以改写为：
【对点快练】
1．sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)等于( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),4)
答案：B sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)＝eq \f(1,2)sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
2．已知tan α＝eq \f(1,2)，则tan 2α＝____________.
答案：eq \f(4,3) tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3).
例1.已知 求的值。
解：因为 所以

因此，

。
【变式练习1】
求下列各式的值：
(1)cseq \f(π,5)cseq \f(2π,5)；(2)eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)；(3)eq \f(2tan 150°,1－tan2150°)；
(4)sin 10°sin 50°sin 70°.
解 (1)原式＝eq \f(2sin\f(π,5)cs\f(π,5)cs\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq \f(sin\f(2π,5)cs\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq \f(sin\f(4π,5),4sin\f(π,5))＝eq \f(sin\f(π,5),4sin\f(π,5))＝eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(1－2cs2\f(π,8),2)＝－eq \f(2cs2\f(π,8)－1,2)＝－eq \f(1,2)cseq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),4).
(3)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－eq \r(3).
(4)原式＝cs 20°cs 40°cs 80°＝eq \f(2sin 20°cs 20°cs 40°cs 80°,2sin 20°)＝eq \f(1,8)·eq \f(sin 160°,sin 20°)＝eq \f(1,8).
【变式练习2】
求下列各式的值．
(1)cs 72°cs 36°；(2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).
解 (1)cs 36°cs 72°＝eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)
＝eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝eq \f(sin 144°,4sin 36°)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 50°＋\f(\r(3),2)sin 50°)),\f(1,2)×2sin 50°cs 50°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4.
例2. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0解 ∵0＜x＜eq \f(π,4)，∴eq \f(π,4)－x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
又∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13).
又cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝2×eq \f(5,13)×eq \f(12,13)＝eq \f(120,169)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，
∴原式＝eq \f(\f(120,169),\f(5,13))＝eq \f(24,13).
【变式练习】
已知sin α＋cs α＝eq \f(\r(3),3)(0＜α＜π)，则cs 2α＝____________.
答案：－eq \f(\r(5),3) 因为sin α＋cs α＝eq \f(\r(3),3)，
所以(sin α＋cs α)2＝eq \f(1,3)，2sin αcs α＝－eq \f(2,3)，
又0＜α＜π，所以sin α＞0，cs α＜0，
因为(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(5,3)，
所以sin α－cs α＝eq \f(\r(15),3)，所以cs 2α＝(cs α－sin α)(cs α＋sin α)＝－eq \f(\r(15),3)×eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(\r(5),3).
例3.证明下列恒等式

证明：（1）左边
=右边。
（2）左边
右边
【变式练习1】
求证：(1)cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B；
(2)cs2θ(1－tan2θ)＝cs 2θ.
证明 (1)左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)＝eq \f(1,2)
(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)＝cs 2Acs 2B＝右边，
∴等式成立．
(2)证法一 左边＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))＝cs2θ－sin2θ＝cs 2θ＝右边．
证法二 右边＝cs 2θ＝cs2θ－sin2θ
＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))
＝cs2θ(1－tan2θ)＝左边．
【变式练习2】
设α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求证：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝eq \f(cs α,1＋sin α).
证明 左边＝eq \f(1－tan\f(α,2),1＋tan\f(α,2))＝eq \f(cs\f(α,2)－sin\f(α,2),cs\f(α,2)＋sin\f(α,2))
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)))2)
＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),1＋2cs\f(α,2)sin\f(α,2))＝eq \f(cs α,1＋sin α)＝右边．
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝eq \f(cs α,1＋sin α).
例4.求函数的周期和最大值。
解：因为
因此，所求函数的周期为，最大值为。
例5.已知函数 ，求的值域。
解：因为
又因为 所以
从而可知，
因此，故所求的值域为。
【变式练习1】
已知函数y＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin xcs x＋1，x∈R.
(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(2)求函数的单调递增区间．
解 (1)y＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin xcs x＋1
＝eq \f(1,2)×eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)sin 2x＋1
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x＋\f(1,2)cs 2x))＋eq \f(5,4)
＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4).
当函数y取得最大值时，2x＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)即x＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)．故y取得最大值时，自变量x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,6)))＋kπ，k∈Z)).
(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，故函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
【变式练习2】
已知不等式eq \r(2)sineq \f(π,4)cs eq \f(x,4)＋eq \r(6)cs2eq \f(x,4)－eq \f(\r(6),2)－m≥0对于x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2) ] B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(2),2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，＋∞))
答案：B 由题意，令f(x)＝eq \r(2)sin eq \f(x,4)cs eq \f(x,4)＋eq \r(6)cs2eq \f(x,4)－eq \f(\r(6),2)，
化简可得：f(x)＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(x,2)＋eq \r(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)cs\f(x,2)))－eq \f(\r(6),2)
＝eq \f(\r(2),2)sineq \f(x,2)＋eq \f(\r(6),2)cseq \f(x,2)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，所以eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，当eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)时，函数f(x)取得最小值为eq \f(\r(2),2).
所以实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(2),2))).
【变式练习3】
已知f(x)＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＋sin xcs x．求：
(1)f(x)的最值；
(2)f(x)的对称轴方程．
解 f(x)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))＋eq \f(1,2)sin 2x
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2xcs \f(π,6)－sin 2x·sin\f(π,6)))＋eq \f(1,2)sin 2x
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 2x＋\f(\r(3),2)cs 2x))＋eq \f(1,2)
＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋eq \f(1,2).
(1)f(x)max＝1，f(x)min＝0.
(2)令2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z，所以函数的对称轴方程是x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z.
例6.如图所示，已知中，为锐角，是边上的一点，且求的正弦值。
解：因为且所以

又因为 所以，因此，从而

小结：
1．“二倍角”的广义理解：二倍角是相对的，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq \f(3,2)α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2α,2n＋1)(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用：二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，其常用变形公式：①1＋cs 2α＝2cs2α，②cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，③1－cs 2α＝2sin2α，④sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
考点
教学目标
核心素养
二倍角公式
掌握二倍角公式及其变形公式的应用
逻辑推理、数学运算
二倍角公式与两角和与差的正弦余弦正切公式的区别与联系
了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式的结构
逻辑推理、s互相运算