数学人教B版 (2019)7.2.1 三角函数的定义教案设计

7.2.1 三角函数的定义

“任意角三角函数的定义”是高中数学十分重要的内容，在学习本课之前，学生在必修1的学习中对函数有了一定的认识，而三角函数也是基本初等函数之一，它是描述周期现象的重要数学模型，从而本节是学生在锐角三角函数的基础上进行的拓展，是本章教学内容的基本概念。本节是三角函数一章第二节第一课时，主要学习任意角三角函数的定义，在教材内容结构上起到一个承上启下的作用，对三角函数的整体学习也至关重要。同时它又为平面向量，解析几何等内容的学习作必要的准备。本节课以函数思想为指导，以坐标系和单位圆为定义工具，以初中学过的锐角三角形为认知的起点，来掌握三角函数新的定义。新的定义可以更好的反应三角函数的本质，使得三角函数反应的数形关系更加的直接，数形结合更加紧密。对任意角三角函数的探究过程，使学生经历了观察、归纳、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，提高了他们探究问题、分析问题、解决问题的能力，帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，为以后的学习奠定了扎实的基础。

【教学重点】

任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判定

【教学难点】

从函数的角度理解以实数为自变量的任意角三角函数

问题1：任意角的正弦、余弦、正切的定义

当是锐角时，它的终边在第一象限内，如图所示，在终边上任取一个不同于坐标原点的点，作垂直于于点，记，则是一个直角三角形，

且，由此可知：

知识点1　任意角的正弦、余弦与正切的定义

对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，称为角α的正弦，记作sin α；称为角α的余弦，记作cos α，因此sin α＝，cos α＝.

当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝.

角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数．

【对点快练】

1．已知角α的终边过点P(－1,2)，则cos α的值为(　　)

A．－　　 B．－　　

C．　　 D．

答案：A　由题意得：r＝＝，cos α＝＝－.

2．若角α的终边上有一点(0，－1)，则tan α的值是(　　)

A．－1　　 B．0　　

C．1　　 D．不存在

答案：D　因为角α的终边上有一点(0，－1)，所以角的终边落在y轴的负半轴上，其正切值不存在．

例1.已知角的终边经过点，求。

解：设则，于是

，

例2.求下列各角的正弦、余弦、正切。

（1）0     （2）     （3）

解：（1）角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点(1,0),所以，因此

。

（2）角的终边在x轴的负半轴上，在x轴的负半轴上取点（-1，0），所以，因此：

（3）角的终边在y轴的负半轴上，在y轴的负半轴上取点（0，-1），所以，因此：不存在

例3.求的正弦、余弦和正切

解：如图所示，在的终边上取点P，使得OP=2，作，则在中，

因此，从而可知P的坐标为，因此

例4.(1)如果角θ的终边经过点P，则sin α＝____________，cos α＝____________，tan α＝____________.

(2)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为____________．

答案：(1)　－　－　

由题意知r＝ ＝1，所以sin α＝＝＝，

cos α＝＝－＝－，tan α＝＝＝－.]

(2)或　

因为r＝ ，cos θ＝，所以x＝ .又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.又y＝3>0，

所以θ是第一或第二象限角．

当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3；则sin θ＋tan θ＝.

当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3.则sin θ＋tan θ＝.

【变式训练1】

已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；

解　r＝＝5|a|.

若a>0，则r＝5a，α是第二象限角，则sin α＝＝＝，

cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－，

若a<0，则r＝－5a，α是第四象限角，则sin α＝－，

cos α＝，tan α＝－.

综上所述，当a>0时，sin α＝cos α＝－，tan α＝－；

当a<0时，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.

【变式训练2】

已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值．

解　因为角α的终边在直线y＝x上，

所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点．则r＝＝2|a|(a≠0)．

若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sin α＝＝，

cos α＝＝，tan α＝＝.

若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sin α＝＝－，cos α＝－＝－，tan α＝＝.

综上所述：当a>0时，sin α＝，cos α＝，tan α＝；

当a<0时，sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.

问题2：正弦、余弦、正切在各象限的符号

知识点2　正弦、余弦与正切在各象限的符号

当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α>0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α<0.

当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cos α>0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cos α<0.

当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α>0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α<0.

如图所示：

根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：

“sin α＝：上正下负横为0；cos α＝：左负右正纵为0；tan α＝：交叉正负”．

形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”．

【对点快练】

1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α所在的象限是(　　)

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限　　 D．第四象限

答案：B　由sin α>0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．

2．当α为第四象限时，－的值是____________．

答案：－2　因为α为第四象限角，所以＝－1，＝1.所以－＝－1－1＝－2.

例5.确定下列各值的符号

（1）    （2）   （3）   （4）

解：（1）因为是第三象限角，所以；

（2）由，可知是第一象限角，所以；

（3）由，可知为第三象限角，所以.

【变式训练】

确定下列式子的符号：

(1)tan 125°·sin 273°；

(2)sin ·cos ·tan ；

(3)tan 191°－cos 191°.

解　(1)因为125°角是第二象限角，所以tan 125°<0.

因为273°是第四象限角，所以sin 273°<0，

所以tan 125°·sin 273 °>0，式子符号为正．

(2)因为是第三象限角，是第二象限角，是第四象限角，所以sin <0，cos <0，tan <0，从而sin ·cos ·tan <0，式子符号为负．

(3)因为191°为第三象限角，所以

tan 191°>0，cos 191°<0，

所以tan 191°－cos 191°>0，式子符号为正．

例6.设且，确定是第几象限角。

解：因为，所以的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；又因为，所以的终边在第一、三象限。

因此满足且的是第三象限角。

【变式训练】

若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为(　　)

A．锐角三角形　　　　　 B．钝角三角形

C．直角三角形　　 D．以上三种情况都有可能

答案：B　三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sin α·cos β <0，所以sin α>0，cos β <0，所以角β为钝角，此三角形为钝角三角形．

小结：

1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．                

2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．