人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算教案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算教案设计，共11页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习1，变式练习2等内容，欢迎下载使用。
本节课是人教B版必修3第八章的第三课时，平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。通过本节的学习，要让学生掌握：（1）平面向量数量积的坐标表示；向量夹角的坐标表示；向量垂直的坐标表示的充要条件。以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。
【教学重点】
平面向量数量积的坐标表示；向量夹角的坐标表示；向量垂直的坐标表示的充要条件
【教学难点】
向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用
问题1：向量的坐标表示与向量的数量积
在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量之后，如果对于平面内的向量，有，则就是向量的坐标，记作。而且，是单位正交基底，这就是说，。
因此，
类似的，有，即。
也就是说，在单位正交基底下的坐标为。
由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底，使得
因此，
从而，
特别的，
在平面直角坐标系中，如果，则
，
从而，因此
新知新学
1．在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2之后，如果对于平面内的向量a，有a＝x e1＋y e2，则(x，y)就是向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2．设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a|2＝a·a＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))，cs 〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
3．在平面直角坐标系中，如果A(x1，y2)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
【对点快练】
1．已知a＝(0,1)，b＝(2，－1)，则a·b等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：B ∵a＝(0,1)，b＝(2，－1)，∴a·b＝(0,1)·(2，－1)＝0×2＋1×(－1)＝－1.
2．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cs θ＝( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(\r(10),10) D．eq \f(3\r(10),10)
答案：D 因为3b＝3b＋a－a＝(5,4)－(2,1)＝(3,3)，所以b＝(1,1)，所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2×1＋1×1,\r(5)×\r(2))＝eq \f(3,\r(10))＝eq \f(3\r(10),10).
例1.已知，求。
解：由题意可知：
，
又因为，
所以。
【变式练习1】
已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．
(1)求a·(a－b)；
(2)求(a＋b)·(2a－b)；
(3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．
解 (1)方法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，
∴a－b＝(－4,0)．
∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b
＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，
2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.
(3)(a·b)c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1)
＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)．
a(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)]
＝(－1,2)(3×2＋2×1)＝8(－1,2)＝(－8,16)．
【变式练习2】
已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标．
解 设c＝(x，y)，
则a·c＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝4.①
由b·c＝－9，得b·c＝(－1,3)·(x，y)＝3y－x＝－9.②
联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4，,x－3y＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2.))∴c的坐标为(3，－2)．
例2.已知点求的余弦值。
解：因为，
所以，
因此：
【变式练习1】
已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，当a与b的夹角为锐角时，求λ的取值范围．
解 a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
∵a与b的夹角为锐角，
∴cs θ＞0，且cs θ≠1，∴a·b＞0且a与b不同向．
因此1＋2λ＞0，∴λ＞－eq \f(1,2).又a与b共线且同向时，λ＝2.
∴a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．
【变式练习2】
若向量a，b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
答案：D 根据题意，设向量a与b的夹角为θ，a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则b＝(a＋b)－a＝(1，－3)，可得|a|＝eq \r(5)，|b|＝eq \r(10)，cs θ＝eq \f(1×1－2×3,\r(5)×\r(10))＝－eq \f(\r(2),2)，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
问题2：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
因为的充要条件是，因此
这就是说，利用向量的坐标与向量的数量积，可以方便地表达出向量垂直的条件。
新知新学：
设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y1＝0.
【对点快练】
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
答案：A ∵－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.
2．向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．a∥(a－b) D．a⊥(a－b)
答案：D 由a－b＝(－2，－1)，易得a·(a－b)＝0，故a⊥(a－b)．
例3.已知点，求证：
证明：因为
所以：
因此。
【变式练习1】
已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解 (1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
又|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(|a|2－2a·b＋|b|2)，
∴|a－b|＝2或2eq \r(5).
【变式练习2】
设平面向量a＝(cs α，sin α)(0≤α