数学人教B版 (2019)7.3.4 正切函数的性质与图修教案

这是一份数学人教B版 (2019)7.3.4 正切函数的性质与图修教案，共12页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习等内容，欢迎下载使用。

本节课之前已经学习了正弦函数和余弦函数的性质，函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式。一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述。但对正切函数，教材换了一个新的角度，然后再根据性质研究正切函数的图象。这样处理是为了给学生提供研究数学问题更多的视觉，在性质的指导下可以更加有效地作图，研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现的更加全面。由于学生已经有了研究正弦函数，余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的探究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移和类比的学习方法。
【教学重点】
正切函数的图象、正切函数的性质及应用
【教学难点】
正切函数的性质及应用
问题1：正切函数的定义
对于任意一个角，只要，就有唯一确定的正切值与之对应，因此是一个函数，称为正切函数。
利用正切线可以直观地表述正切值，如图所示，就是角x的正切线。
问题2：正切函数的性质
（1）定义域与值域
因为角的终边与横轴垂直，其正切值不存在，因此可知的定义域为。
由图中的正切线可以看出，当x从0开始增大并越来越接近时，的值从0开始增大，且它的值可以大于指定的任意正数，也就是说能取到内的所有数，类似的，可以看出能取到内的所有数，因此的值域为R。
（2）奇偶性
由诱导公式可知，正切函数是一个奇函数。
（3）周期性
由诱导公式或图中正切线的变化规律可知，是周期为的周期函数。
（4）单调性
由是以为周期的周期函数可知，我们只要知道正切函数在内的单调性，就能得到正切函数在所有有定义的区间上的单调性。
由图中的正切线可以看出，正切函数在区间上单调递增，由此可知，在每一个开区间上都是单调递增的。
（5）零点
不难看出，正切函数的零点为。
知识点1 正切函数的性质
1．正切函数y＝tan x的定义域是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，值域是R.
2．正切函数y＝tan x是奇函数.
3．正切函数y＝tan x周期为π的周期函数．
4．正切函数y＝tan x在每一个开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都是单调递增的．
5．正切函数y＝tan x的零点是 kπ(k∈Z).
【对点快练】
1．下列说法正确的是( )
A．正切函数在整个定义域内是增函数 B．正切函数在整个定义域内是减函数
C．函数y＝3 taneq \r(x2)的图像关于y轴对称 D．若x是第一象限角，则y＝tan x是增函数
答案：C 由正切函数性质可知A、B、D均不正确，又y＝3taneq \r(x2)＝3tan|x|为偶函数，故其图像关于y轴对称．
2．f(x)＝tan(x＋π)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案：A f(x)定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ.k∈Z))))，f(x)＝tan(x＋π)＝tan x，由tan(－x)＝－tan x知f(x)为奇函数．
问题3：正切函数的图象
因为的周期为，所以只要作出在 上的图象，就可得到其在整个定义域内的图象。又因为是奇函数，所以只要知道在上的图象即可。
取内的几个点，列表如下：
在平面直角坐标系中描点，如图所示，又根据在上递增等信息，可知将这些点连接起来，形成光滑的曲线，就可以得到在上的函数图象，然后作这一段图象关于原点对称的图象，最后得到在上的图象，如图所示。
由于的周期是，所以正切函数在上的函数图象与其在上的函数图象完全相同，因此不难得到正切函数的图象，如图所示。
知识点2 正切函数的图像
1．取eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))内的几个点，列表如下.
再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图像，如图：
2．y＝tan x的函数图像称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))k∈Z.
【对点快练】
1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))，x∈R且x≠eq \f(3π,10)＋kπ，k∈Z的一个对称中心是( )
A．(0,0) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,5)，0)) D．(π，0)
答案：C 由x＋eq \f(π,5)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,5)，令k＝2，得x＝eq \f(4π,5).
2．求函数y＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图像的对称中心坐标．
解 因为y＝tan x的图像的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))k∈Z，故由x－eq \f(π,4)＝eq \f(kπ,2)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，
所以y＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图像的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,4)，0))k∈Z.
例1.求函数的定义域。
解：令，则可以转化为
因为中，所以
，即
所以函数的定义域为
【变式练习】
求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(1,1＋tan x)；
(2)y＝lg(eq \r(3)－tan x)；
(3)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
解 (1)要使函数y＝eq \f(1,1＋tan x)有意义，
必须且只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))
所以函数的定义域为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ－\f(π,4)，x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
(2)因为eq \r(3)－tan x>0，所以tan x< eq \r(3).
又因为tan x＝eq \r(3)时，x＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图像，得kπ－eq \f(π,2)所以函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)(3)由2x－eq \f(π,4)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z得，x≠eq \f(3π,8)＋eq \f(1,2)kπ，k∈Z，
所以y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(3π,8)))＋\f(1,2)kπ，k∈Z))
例2.求函数的周期。
解：令，则可以化为。
由的周期为可知，对任意，当它增加到且至少增加到时，对应的函数值才重复出现，因为：
这说明对任意x，当它增加到且至少增加到时，的函数值才重复出现，这就说明的周期为。
【变式练习】
函数的最小正周期______.
【答案】
【解析】
函数的最小正周期.
故答案为:
例3.(1)求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
解 (1)化简得，y＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
由－eq \f(π,2)＋kπ<2x－eq \f(π,4)解得－eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)∴函数的单调减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(3π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z.
(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．
又∵eq \f(π,2)<2<π，∴－eq \f(π,2)<2－π<0.
∵eq \f(π,2)<3<π，∴－eq \f(π,2)<3－π<0，
显然－eq \f(π,2)<2－π<3－π<1∴tan(2－π)因此tan 2【变式练习】
(1)求函数y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))的单调减区间；
(2)比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,4)π))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)π))的大小．
解 (1)∵y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))的单调减区间满足kπ－eq \f(π,2)∴kπ－eq \f(π,3)∴4kπ－eq \f(4,3)π∴y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)－\f(π,6)))的单调减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(4,3)π，4kπ＋\f(8,3)π))(k∈Z)．
(2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,4)π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,4)π＋4π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,4)π＋\f(16,4)π))＝tan eq \f(3,4)π，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)π＋3π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)π＋\f(15,5)π))＝tan eq \f(3,5)π.
∵y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))内单调递增，且eq \f(π,2)∴tan eq \f(3,4)π>tan eq \f(3,5)π.即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,4)π))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)π)).
例4. 已知－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,4)，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
解 因为－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,4)，所以－eq \r(3)≤tan x≤1
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1即x＝－eq \f(π,4)时，f(x)有最小值1，
当tan x＝1即x＝eq \f(π,4)时，f(x)有最大值5.
【变式练习】
求函数y＝－tan2x＋10tan x－1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))的值域．
解 设tan x＝t，∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，∴t∈[1，eq \r(3) ]，
∴y＝－tan2x＋10tan x－1
＝－t2＋10t－1
＝－(t－5)2＋24.
∴当t＝1，即x＝eq \f(π,4)时，ymin＝8；
当t＝eq \r(3)，即x＝eq \f(π,3)时，ymax＝10eq \r(3)－4.
∴函数的值域为[8,10eq \r(3)－4]．
例5. 画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解 (1)由y＝|tan x|得，
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，kπ≤x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－tan x，－\f(π,2)＋kπ其图像如图：
由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
函数y＝|tan x|的周期T＝π.
函数y＝|tan x|的单调递增区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．
【变式练习】
设函数.
（1）求函数的最小正周期及图象的对称中心；
（2）作出函数在一个周期内的简图.
【答案】（1），；（2）图像见解析
【解析】
（1）∵∴最小正周期.
令,解得
∴图象的对称中心是
（2）令,得；
令,得；
令,得；
令,得；
令,得.
∴函数的图象与x轴的一个交点坐标是
在这个交点左,右两侧相邻的两条渐近线方程分别是,
从而得到函数在一个周期内的简图如下图所示:
小结：
1．正切函数的图像：
正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质：
(1)函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，值域为R.
(2)函数y＝tan x的最小正周期为π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为eq \f(π,|ω|).
(3)正切函数在整个定义域内不具有单调性，但在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上递增，正切函数无单调减区间．
考点
教学目标
核心素养
正切函数的图象
能画出的图象，借助图象理解正切函数在区间上的性质
数学抽象、数形运算
正切函数的性质及应用
掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图象与性质解决综合问题
数学抽象、数形运算
X
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
y＝tan x
0
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)