人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线习题

7.2.2 单位圆与三角函数线

【基础练习】

一、单选题

1．下列说法不正确的是(    )

A．当角的终边在轴上时，角的正切线是一个点

B．当角的终边在轴上时，角的正切线不存在

C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化

D．余弦线和正切线的始点都是原点

【答案】D

【解析】

根据三角函数线的概念，A，B，C都是正确的，只有D不正确；因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与轴正半轴的交点上．

故选D

2．已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边（   ）

A．在轴上 B．在直线上

C．在轴上 D．在直线或上

【答案】A

【解析】

由题意可知，因此，角的终边在轴上，故选A.

3．如果MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是(　　)

A．MP＜OM＜0 B．OM＞0＞MP

C．OM＜MP＜0 D．MP＞0＞OM

【答案】D

【解析】

由于为第二象限角，故正弦大于零，余弦小于零，也即.

4．在内,使成立的x的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

解：在内，画出与对应的三角函数线是MT，OM，如图：

满足在内，使的即，

所以所求的范围是：，
故选：B.

5．若，以下不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

当时，，，，

所以.

故选A.

二、填空题

6．已知，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的模从大到小的顺序为_____________.

【答案】

【解析】

解:由图可知，当时，，即，，所以，故当时，.

故答案为：

7．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为_____.

【答案】或

【解析】

根据正弦线和余弦线的定义知，

当α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等时，终边落在了第一三象限的角平分线上，即α=和.

故答案为或.

8．如果，那么角的取值范围是________．

【答案】，

【解析】

因为，所以，

所以角的终边落在轴或其右侧，

从而角的取值范围是，.

故答案为，

三、解答题

9．分别作出下列各角的正弦线､余弦线和正切线.

(1);   

(2).

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

解:(1)设的终边与单位圆交于点P,过作垂直于x轴的直线交的终边于点T,过P作轴,交x轴于M,如图(1)所示,则是正弦线,是余弦线,是正切线.

      (1)                        (2)

(2)同(1),过作垂直于x轴的直线,交的终边的反向延长线于点T,如图(2)所示,则是正弦线,是余弦线,是正切线.

10．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合．

【答案】

【解析】

如图，作出单位圆．

所以角α满足的集合为.

【提升练习】

一、单选题

1．角和角有相同的（    ）

A．正弦线 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定

【答案】C

【解析】

解：，角和角的终边互为反向延长线，

即两个角的终边在同一条直线上，设为直线

因此，过点作单位圆的切线，与直线有且只有一个交点

可得，都等于有向线段的长，即两角有相同的正切线．

故选：．

2．，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则，，，其中虚线表示的是角的终边，

，则，即.

故选：D.

3．若,且不等式和成立,则角的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由三角函数线知,在内使的角,使的角,故的取值范围是.

故选：B.

4．若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（ ）

A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能确定

【答案】A

【解析】

解：如图所示：设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，

可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，

故选A．

5．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例.故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜.该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为，，，对方的三个数以及排序如表：

当时，则我方必胜的排序是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

解：因为当时，，

, ，

由“田忌赛马”事例可得，我方必胜的排序是.
故选：D.

二、填空题

6．不等式组的解集为_______________________．

【答案】

【解析】

由得在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，如图所示，由三角函数线可得解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为．

7．从小到大的排列顺序是______.

【答案】

【解析】

如图所示，分别作出角的余弦线，角的正弦线和正切线，

可得，

又由，所以.

故.

8．在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段弧上，角以为始边，为终边．若，则所在的圆弧是______．

【答案】

【解析】

（1）当点在上时，由于弧的位置在第一象限靠近x轴的一方，所以，不合题意；

（2）当点在上时，由于弧的位置在第一象限靠近y轴的一方，所以，而

，所以不合题意；

（3）当点在上时，由于弧在第二象限靠近y轴的一方，所以，且，所以，符合题意．

（4）当点在上时，由于弧在第三象限，所以，所以不合题意．

由以上分析可得点所在的圆弧是．

故答案为．

三、解答题

9．设是第一象限角,作的正弦线､余弦线和正切线,由图证明下列各等式.

(1);   

(2).

如果是第二､三､四象限角,以上等式仍然成立吗?

【答案】见解析

【解析】

证明:如图,是第一象恨角,其正弦线､余弦线､正切钱分别是,,.

(1)在中,,即.

(2) ,,即.

若是第二､三､四象限角,以上等式仍成立.

10．利用三角函数线证明：若0<α<β<，则β－α>sinβ－sinα.

【答案】详见解析

【解析】

如图所示，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角β，α的终边分别交于点P，Q，过P，Q分别作OA的垂线，垂足分别是M，N，则sinα＝NQ，sinβ＝MP.过点Q作QH⊥MP于H，则HP＝MP－NQ＝sinβ－sinα.连接PQ，由图可知 ，即β－α>sinβ－sinα.