人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念课时练习

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一、单选题
1．已知，且的夹角为，则的值是
A．1B．±1C．2D．±2
【答案】A
【解析】
.
2．已知是圆心为，半径为的圆上两点，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：由是圆心为，半径为的圆上两点，且，可得为等边三角形，可得：，
故选：A.
3．若， 和的夹角为30°，则在方向上的投影为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【解析】
因为， 和的夹角为30°
所以在方向上的投影为.
故答案选C
4．下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量.
②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.
④错误，，故
⑤错误，.
综上所述，正确的个数为，故选B.
5．若，则三角形ABC必定是（ ）三角形
A．锐角B．直角C．钝角D．等腰直角
【答案】B
【解析】
，即
所以三角形ABC必定是直角三角形
故选：B
二、填空题
6．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_____________.
【答案】4
【解析】
设与的夹角为,
∵,∴.
又∵在上的投影向量为,
∴,∴.
故答案为:4
7．如图，正六边形的边长为，记，从点､､､､､这六点中任取两点为向量的起点和终点，则的最大值为______.
【答案】2
【解析】
由题意可知：则，
由图可知时，所以，
故的最大值为2.
故答案为：2
8．中，， ，则在方向上的投影是__________.
【答案】
【解析】
在方向上的投影为.
三、解答题
9． 已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列哪个条件时，能确定△ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由.
①a·b<0；②a·b＝0；③a·b>0.
解 ∵a·b＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs A.
①当a·b<0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形；
②当a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形；
③当a·b>0时，∠A为锐角，△ABC的形状不确定．
10．如图所示，已知各单元格都是边长为的正方形，求出以下向量的数量积．
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）1；（2）0；（3）-1.
【解析】
（1）由图可知，
，
因此．
（2）由图可知，，因此．
（3）由图可知，向量在向量上的投影的数量为，且为单位向量，
因此根据向量数量积的几何意义可知．
【提升练习】
一、单选题
1．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．充分不必要条件
【答案】D
【解析】
充分性：若存在正数，使得，则，，得证；
必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；
所以是充分不必要条件
故选：D
2．对于下列命题：①若，则；②在，若，则为锐角三角形；③零向量与任何向量都共线④若和都是单位向量，则或．其中正确命题有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】
解：①，，又，所以，所以，故①正确；
②，
，即，故为钝角三角形，故②错误；
③零向量与任何向量都共线（平行），故③正确；
④单位向量指模为的向量，再具体的情境中，单位向量的方向是确定的，故④错误.故选C.
3．如图所示，四个边长为1的正方形拼成一个大正方形，是其中一个小正方形的一条边，是小正方形其余的顶点，则集合中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】
根据数量积的定义，元素的个数取决于在向量方向的投影的结果的个数.
结合已知条件，由图可知：
与，与，与在向量方向的投影相同，
故集合中有3个元素.
故选：A.
4．若向量、满足，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：
5．如图，为圆的一条弦，且，则
A．4B．-4C．8D．-8
【答案】D
【解析】
设AB的中点为M，连接OM，则OM⊥AB，
则=2•
=2||•||•cs=-2×2•||•cs
=-4||=-8．
故选D．
二、填空题
6．如图，已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点．则的最大值为______．
【答案】1
【解析】
根据平面向量数量积的几何意义得：当点E在点B时，值的最大，此时，所以的最大值为1.
7．在中， ，，则_________.
【答案】
【解析】
由知：，则在方向的投影为，
由向量数量积的几何意义得：
，∴
故答案为
8．知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为__________．
【答案】
【解析】
解：向量在向量方向上的投影为
所以，向量在向量方向上的投影为
三、解答题
9．作图说明,如果向量在向量上的投影为，则.
【答案】见解析
【解析】
解:设,过A作,则,与同向的单位向量为.
则,
即.
10．已知是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列：，，，．
【答案】．
【解析】
如图，过点作于点，
根据向量投影的定义，可得：，
，，
，
所以，，，，
∴．