人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用同步训练题

8.2.4 三角恒等变换的应用

【基础练习】

一、单选题

1．已知且，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由得，，又由可得，所以，

故选：A

2．设是第二象限角，，且，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为是第二象限角，且，所以为第三象限角，

所以.因为，所以，所以.

3．函数，则的最小正周期和最大值分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，所以最小正周期为，最大值为.

4．函数的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】

∵

，

∴．

故选：.

5．若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )

A．－π B．－

C． D．π

【答案】D

【解析】

∵α，β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π

由原式可知：2sin·cos＝(－2sin·sin)，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.

二、填空题

6．若，那么_____________.

【答案】

【解析】

若，

，，，

那么，

故答案为：．

7．若，是第三象限的角，则_____________．

【答案】

【解析】

∵是第三象限的角，∴，∴，∵，∴，解得，∴，故答案为．

8．函数的最大值是  

【答案】

【解析】

∵y＝sin（2x）sin（2x）

{[cos（2x（2x）]﹣cos[（2x）﹣（2x）]}

cos（4x）cos

cos（4x）

∴ymax．

故答案为．

三、解答题

9．已知且，若，

求(1)的值；

(2)的值．

【答案】(1)(2)

【解析】

（1）,,，

,,

又,,

（2）由（1）,

,

10．已知函数.

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）因为

，

所以.

（2）由（1），知，

令，

解得，

所以函数的单调递增区间为.

令，

解得，

所以函数的单调递减区间为.

【提升练习】

一、单选题

1．设，且是第四象限角，则的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，

是第四象限角，，

由半角公式得，故选A.

2．已知，，则的值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，，所以

则

故选：D

3．已知函数，则等于（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由降幂公式，

即

所以

故选A

4．已知，均为锐角，且，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

因为，所以 ，即，故选A．

5．已知，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵，∴.

∵，∴，∴.

∴，

∴.

故选D.

二、填空题

6．若，化简：______.

【答案】

【解析】

因为，

所以，

所以，，

所以.

所以.

故答案为：

7．的值为______.

【答案】

【解析】

原式

故答案为.

8．________．

【答案】

【解析】

．

故答案为：.

三、解答题

9．已知，.

（1）求的值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）因为，，

所以.

从而.

（2）因为，，

所以

所以.

所以

，∴.

10．如图，考虑点，，，，从这个图出发.

（1）推导公式：；

（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.

【答案】（1）推导见解析；（2）证明见解析，

【解析】

（1）由三角函数的定义，可得，

根据图象，可得，即，

即.

即.

（2）由（1）可得， ①

②

由①+②可得：

所以，

所以.