人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理导学案

9.1.2  余弦定理及其应用

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的方法．(重点)

2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形．(重点、难点)

重点：余弦定理的推导

难点：灵活运用余弦定理解决两类基本的解三角形

1．余弦定理

(1)三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．

即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，

c2＝a2＋b2－2abcos_C.

(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．

①已知三边，求三角．

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？

[提示]　是．

2．余弦定理的变形

(1)余弦定理的变形：

cos A＝；cos B＝；cos C＝.

(2)利用余弦定理的变形判定角：

在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．

一、温故知新

正弦定理：

二、情境与探究

利用如图9-1-6（1）所示的现代测量工具，可以方便地测量出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角

      例如如图9-1-6（2）所示，AB，分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC, BC以及角的大小，你能根据这三个量求出AB吗？

情景中的问题可以转化为已知a , b和角C，如何求c?类似的问题，可以通过构造直角三角形来解决，也可以借助向量来求解.

研究：在三角形ABC中，AB＝c，BC=a，CA=b,

余弦定理：

由余弦定理变型得：

做一做

1．思考辨析

(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．(　　)

(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)

(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(　　)

2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________.

3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B＝________.

三、典例解析

例3．在△ABC中，已知acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．

例4．如图所示，平面四边形ABCD中，已知B+D=180°，AB=2，BC=，CD=4，AD=，求四边形ABCD的面积.

例5.在△ABC中， 求证：a＝bcosC+ccosB

1．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)

A．60°　　　　　　　　B．90°                 C．120°              D．150°

2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)

A.                    B.                   C.                    D.

3．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos A＝________.

5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题

(1)已知两边和夹角，解三角形．

(2)已知三边求三角形的任意一角．

2．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．

3．对所给条件进行变形，主要有两种途径

(1)化边为角．

(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换．

参考答案：

学习过程

二、情境与探究

研究：在三角形ABC中，AB＝c，BC=a，CA=b,

即：

余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

　应用：已知两边和一个夹角，求第三边．

由余弦定理变型得：

；；

应用：已知三条边求角度．

做一做

1．[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　

提示：由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，(3)错误．

2． 2　[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6×cos 120°＝76，c＝2.]

3．60°　[cos B＝＝＝，B＝60°.]

三、典例解析

归纳小结

例3．解法一：∵cosA＝，cosB＝，

∴•a＝•b，

化简得：a2c2﹣a4＝b2c2﹣b4，

即（a2﹣b2）c2＝（a2﹣b2）（a2+b2），

①若a2﹣b2＝0时，a＝b，此时△ABC是等腰三角形；

②若a2﹣b2≠0，a2+b2＝c2，此时△ABC是直角三角形，

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．

解法二：在△ABC中，由acosA=bcosB，

得：sinAcosA=sinBcosB，∴  sin2A=sin2B．

∴  2A=2B或2A+2B=π．∴  A=B或

∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形．

例4．

解:连接A,C，如图所示，

在

因为B+D=180°，所以cosB=-cosD

因此，

解得：cosB=0，因此cosD=0，则B=D=90°

从而四边形ABCD面积为.=4（）

例5.证明：如图所示

∵，∴

∴a2＝accosB+bacosC

∴a＝bcosC+ccosB

达标检测

1．【答案】C　[由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，

∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，

∴cos C＝－，∴C＝120°.]

2．【答案】B　[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，

则cosC＝＝＝，所以C＝，故选B.]

3．【答案】等腰三角形　[法一：∵a＝2bcos C＝2b·＝，

∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，

∴△ABC为等腰三角形．

法二：∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，

而sinA＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，

∴cos Bsin C＝sin Bcos C，即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，

∴sin(B－C)＝0.又－180°<B－C<180°，

∴B－C＝0，即B＝C.∴△ABC为等腰三角形．]

4．【答案】　[由B＝C,2b＝a，可得b＝c＝a，所以cos A＝＝＝.]

5． 【答案】　5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，

∴x1＝，x2＝－2(舍去)，∴cos C＝.

根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16，

∴c＝4，即第三边长为4.