高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.3 多面体与棱柱教案设计

11.1.3 多面体与棱柱

本小节是立体几何初步的第三课时，为后续立体几何知识的学习做铺垫。学生在义务教育阶段对简单的几何体已有了初步的认识，应该能识别简单几何体，只是还没有对它们进行分类，缺乏系统的理解和认识。同时本节内容能比较直观地让学生感受到数学与实际生活间的联系，因此通过展示大量几何体实物、模型、图片等，让学生感受到数学源于生活，提高学习兴趣，并且从中体会空间几何体的结构特征。进入高中以后，随着学生逻辑思维能力和抽象思维能力的加强，不能再进局限于一些结论的获得，而且要注重结论的推导过程，揭示只是的来龙去脉，也就是不仅要知其然还要知其所以然。教材也要求学生对发现的结论进行推理论证，本节课着重于理解.

通过实物操作，增强学生的直观感知，能根据几何体结构特征对空间物体进行分类，会用语言概述多面体，棱柱的结构特征，会表示有关几何体以及棱柱的分类。使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力，培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.

【教学重点】

多面体的定义及分类、棱柱的定义及分类、多面体内的长度、面积计算

【教学难点】

多面体内的长度、面积计算

问题1：多面体

知识点1：多面体的定义和相关概念

(1)定义：由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.

(2)相关概念：

面：围成多面体的各个多边形；

棱：相邻两个面的公共边；

顶点：棱与棱的公共点；

面对角线：连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线，如图是一条面对角线。

体对角线：连接不在同一面上两个顶点的线段，如图是一条面对角线。

截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，如图就是多面体的一个截面.

知识点2：多面体的分类

(1)把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体.

(2)多面体可以按照围成它的面的个数来命名，如四面体，五面体，六面体等.

知识点3：多面体的表面积

多面体的表面积(或全面积)：多面体所有面的面积之和.

例1.如图所示的多面体，其各个面的边长为2的等边三角形

（1）写出AB所在直线与所在平面的位置关系，并用符号表示；

（2）求这个多面体的表面积.

解：（1）不难看出，AB所在直线与所在平面有且仅有一个公共点，即面.

(2)一个边长为2的等边三角形，其高为，面积为，又因为给定多面体是一个八面体，因此表面积为。

注：以后将不再区分一个多面体的棱和这条棱所在的直线，也不再区分多面体的一个面和这个面所在的平面，在此前提下，例1的（1）可简单说成“AB与面EBC的关系”。

解答：

问题2：棱柱

知识点4：棱柱的定义及相关概念

(1)定义：有两个面相互平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱.

(2)相关概念：

①棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱

棱柱可以用底面上的顶点来表示，例如，图11-1-24（1）所示的棱柱可表示为棱柱，图11-2-24（2）所示的棱柱可表示为棱柱.

②过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高.棱柱的所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积.

知识点5：棱柱的分类

①按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱.

②按侧棱与底面的位置关系分为：直棱柱和斜棱柱，其中侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱)，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.

图11-2-24的（1）为斜棱柱、（2）（3）为直棱柱、且（3）为正棱柱。

知识点6：几类特殊的四棱柱

平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体；

长方体：底面是矩形的直平行六面体；

正方体：棱长都相等的长方体.

如图，除（1）外，其他的都是平行六面体，且（3）（4）（5）都是直平行六面体，（4）为长方体，（5）为正方体.

【对点练习】

1.棱长都相等的直四棱柱是正方体.( × )

提示：若底面是菱形，则不是正方体.

2.棱柱的侧棱都互相平行且相等.( √ )

3.正四棱柱包含着长方体.( × )

提示：正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，长方体是底面为矩形的直棱柱，{正四棱柱}⊂{长方体}.

4.棱柱的侧面都是(　　)

A.三角形    B.四边形     C.五边形    D.矩形

解析　由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形.

答案　B

5.四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　)

A.四条侧棱、四个顶点    B.八条侧棱、四个顶点

C.四条侧棱、八个顶点    D.六条侧棱、八个顶点

解析　四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).

答案　C

6.下列关于棱柱的说法中正确的是(　　)

A.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高

C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行

解析：棱柱底面是平行四边形时为平行六面体，故A错；当侧棱与底面垂直时，侧棱长可以作为棱柱的高，故B错；长方体有3对互相平行的平面，故C错.

答案　D

7.如图所示，一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号).

解析　原正方体有8个顶点，(1)有10个顶点，(2)有9个顶点，(3)有7个顶点，(4)有8个顶点.

答案　(3)

8.按照特殊四棱柱的定义，四棱柱、平行六面体、长方体、直平行六面体、正四棱柱、正方体所构成的集合有怎样的关系？

提示　{正方体}⊂{正四棱柱}⊂{长方体}⊂{直平行六面体}⊂{平行六面体}⊂{四棱柱}.

例2.如图所示的长方体中，已知，求长方体的体对角线的长.

解：连接，因为是长方体，所以

在中，可知：

在中，可知

【变式练习】

1.若长方体的相邻三个面的面积分别为，，，求长方体的体对角线的长.

解　设从长方体的一个顶点出发的三条棱的长分别为x，y，z(0＜x≤y≤z).

则解得

∴对角线l＝＝.

2.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积是(　　)

A.48(3＋)    B.48(3＋2)

C.28     D.20＋8

解析　底面正六边形面积为S1＝6××42＝24，侧面为矩形，侧面面积为S2＝6×4×6＝144，所以S表＝144＋24×2＝48(3＋).

答案　A

例3.如图是棱长都为1的直平行六面体，且

（1）写出直线与直线，直线与面，面与面之间的位置关系；

（2）求这个直平行六面体的表面积；

（3）求线段的长.

解：（1）直线与直线异面，直线面，面面

（2）底面是如图所示的菱形，由已知可得：

因此该底面的面积为。

又因为每个侧面的面积为1，所以表面积为。

（3）因为是直平行六面体，所以面，所以

在中，由

【变式练习】

1.正四面体(由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等)的棱长为4 cm，如图.

(1)写出正四面体的顶点数、棱数；

(2)写出AB所在直线与△ACD所在平面的位置关系，用符号表示，并判断AB与CD所在直线的位置关系；

(3)求这个正四面体的表面积.

解　(1)正四面体有4个顶点，6条棱.

(2)直线AB与△ACD所在平面有一个交点，即相交，表示为AB∩面ACD＝A.

AB与CD所在直线既不平行也不相交，是异面直线；

(3)正四面体每个面都是边长为4 cm的正三角形，每个面的面积为S△＝×4×4×＝4，所以表面积S＝4×4＝16(cm2).

2.如图，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A′，求爬行的最小距离.

解　将三棱柱沿AA′展开，如图所示.

则线段AD′的长即为最小距离，最小距离为AD′＝＝＝.

小结：

1.通过了解多面体，认识棱柱的结构特征.

2.各种棱柱之间的关系

(1)棱柱的分类

棱柱

(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系