2021学年11.3.2 直线与平面平行第1课时学案及答案

11.3.2 直线与平面平行（1）

【学习重点】

直线与平面平行的判定定理、性质定理的形成过程及应用

【学习难点】

线线平行与线面平行的转化

一.引入

问题1：通过前面几何体的学习，直线和平面有哪几种位置关系？

问题2：上述三种位置关系，直线与平面分别有几个公共点？

二：直线与平面平行的判定

证明：

知识点1　直线与平面平行的判定定理

1．文字叙述：如果           的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．

2．符号表示：                                     

3．图形表示：

注：根据上述定理，画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行.

4．作用：证明直线与平面          

利用线面平行的判定定理，以及棱柱的侧面都是平行四边形，可以证明棱柱一个底面上的边所在直线一定平行于另一个底面。

例如，如图所示的三棱锥中，因为是平行四边形，所以，又因为           ，           ，所以面.

【对点快练】

1．思考辨析

(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)

(2)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.(　　)

(3)若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α.(　　)

2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)

A．b⊂α，a∥b                                  B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BD         D．a⊄α，b⊂α，a∥b

例1.已知空间四边形中，分别是边的中点，求证：面

【解题方法】

用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下

(1)找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行；

(2)证：证明已知直线与该直线平行；

(3)结论：由判定定理得出结论．

注意：第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：①利用三角形中位线，梯形中位线的性质；②利用平行四边形的性质；③利用平行线的传递性．

【变式练习】

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．

求证：PB∥平面AEC．

三.线面平行的性质定理

知识点2　直线与平面平行的性质定理

1．文字叙述：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面           ，那么这条直线就与两平面的交线          

2．符号表示：                               

3．图形表示：

4．作用：证明两直线          

证明：

【思考】

1．如图，若l∥α，直线a⊂α，那么直线l与直线a一定平行吗？为什么？

2．如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？

例2.如图所示，已知三棱锥中，分别为边的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为，求证

【解题方法】

1．利用线面平行的性质定理解题的步骤

先确定（或寻找）一条直线平行于一个平面，再确定（或寻找）这条直线且与已知平面相交的平面，确定交线，由定理得出结论

2．如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行，那么在解决过程中，一定会用到线面平行的性质定理．在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．

【变式练习】

求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

【当堂检测】

1．如图，的边在平面内，是的中位线，则（    ）

A．与平面平行 B．与平面不平行

C．与平面可能平行 D．与平面可能相交

2．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA； ④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数是(　  　)

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如图，在三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过作一平面分别交底面三角形的边，于点E，F，则（    ）

A．

B．四边形为梯形

C．四边形为平行四边形

D．

4．考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为直线，为平面），则此条件为________.

①；②.

5．如图，几何体是正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的位置关系是______.