高中人教B版 (2019)9.1.1 正弦定理第2课时教案及反思

这是一份高中人教B版 (2019)9.1.1 正弦定理第2课时教案及反思，共8页。教案主要包含了课前小测，探索与研究，例题解析，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。
                9.1.1 正弦定理及其应用（2）本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第九章《解三角形》，它与初中学习的三角形的边和角关系、判定三角形的全等有密切联系，在日常生活和工农业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形问题在高考当中是必考内容，因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。本节以正弦定理的应用为内容，通过典型例题的分析和练习，帮助学生掌握正弦定理的基本用法，加深学生对正弦定理的理解，发展学生逻辑推理，数学运算和直观想象的核心素养。课程目标学科素养A.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题；B. 能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.C. 通过正弦定理的灵活运用，提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。1.数学抽象：正弦定理的运用；2.逻辑推理：在外接圆中推导正弦定理；3.数学运算：正弦定理的应用；4.直观想象：几何问题代数化，数形结合思想； 1.教学重点：熟记正弦定理的有关变形公式．2.教学难点：能结合正弦定理解决较为复杂的解三角形问题．多媒体 教学过程教学设计意图核心素养目标一、课前小测1．思考辨析(1)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立．(　　)(2)在△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°.(　　)(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　解析：（1）正确(2)由正弦定理可知＝，即＝，所以sin B＝，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.(3)当bsin A<a<b时，△ABC有两解．2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　) A．直角三角形             B．等腰三角形C．锐角三角形             D．钝角三角形B　[由正弦定理可得sin A＝sin C⇒a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　) A．一解       B．两解C．无解       D．无法确定A　[由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]二、探索与研究1.已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．（提示：先考虑直角三角形）证明：如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，即＝2R，同理＝2R，＝2R，所以＝＝＝2R. 2．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示：由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sin A＝，a＝2Rsin A；sin B＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．三、例题解析例5．在△ ABC中，已知，求证：△ ABC是直角三角形.证明：设,则,且,,.又因为,所以,即,因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.跟踪训练1.在△ABC中，若sin A＝2sin B，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状. 思路探究：解决本题的关键是利用sin A＝，sin B＝，sin C＝把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin B求解．[解]　法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin B＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B，∴sin(B＋C)＝sin B＋cos B＝2sin B，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin B，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝”其它条件不变，试判断△ABC的形状．[解]　∵b＝，由正弦定理，得sin B＝sin A．   (*)∵B＝π－(A＋C)，∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sin A.∴cos A＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cos A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．归纳总结(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系.(2)                                                                                                                                                                                                                                                           注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等 例6.如图9-1-5所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证；.证明：如图,设,,则由题意可知,.在△ ABD和△ ADC中,分别应用正弦定理,可得,,两式相除即可得. 另解：过点C作,交BA的延长线于点E,如图所示.∵,∴.又∵AD平分∠BAC,∴.在△BCE中,由知,,,∴,∴,∴.跟踪训练2．如果在△ABC中，角A的外角平分线AD与BC的延长线相交于点D，求证：.证明：如图所示,∠BAC的外角（∠CAE）的平分线AD与BC的延长找相交于点D,∴,∴.∵,∴.在△CAD和△BAD中,由正弦定理得,∴,∴.通过课前小测，发现学生的问题，同时帮助学生进一步熟悉正弦定理的基本运用。提高学生数学运用核心素养。                  通过利用三角形的外接圆，证明正弦定理的探究，发展学生逻辑推理的核心素养。                  通过典例分析，强化对正弦定理的理解和运用，提升学生数学运算核心素养。                    通过跟踪训练，进一步熟悉正弦定理边角互化的应用，提高学生分析问题能力。                及时归纳总结，提高学生分析解决问题的能力。             通过例题进一步熟悉运用正弦定理解决解三角形能力，提高学生的利用所学知识解决问题的能力。      三、达标检测1．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为(　　)A．0　　　　　B．1                 C．2          D．无数多【答案】B　[因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为1.]2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　) A．3              B．3       C．6           D．6【答案】B　[由S＝ab＝×4×3×得S＝3，故选B.]3．在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.【答案】1[由＝得sin C＝＝×＝，又0<C<，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.所以＝＝＝1.]4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________. 【答案】　2　[由tan A＝2，得sin A＝2cos A，由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，∵b＝5，B＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝2.]5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值． 【答案】　由条件得＝＝，∴sin A＝sin C. 同理可得sin B＝sin C.∴＝＝－.6．求证：在△ABC中，.证明：令,则,,.∴.另解：由正弦定理,得,,∴.   通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，感悟其中蕴含的方程思想，增强学生的应用意识。    四、小结1.正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝k，b＝k，c＝k(k＞0)．2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 本课从正弦定理的应用出发，通过课本例题，归纳出两类基本问题，即判断三角形的形状，解三角形的综合问题，引导学生进一步熟悉正弦定理，达到灵活运用，并体会其中的方程思想。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。