数学人教B版 (2019)9.1.1 正弦定理第1课时教案

9.1.1正弦定理（1）

《解三角形》这一章内容，是初中解直角三角形内容的拓展与延续，也是高中《三角函数》与《平面向量》在解三角形中的应用。初中阶段着重定性的讨论三角形中线段与角的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系。本章内容在高考中主要与三角函数、平面向量等知识联系起来以及在立体几何问题求解中的应用。正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔，因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关的问题的有力工具。

     正弦定理是本章的第一节，是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）已知两角和一边，解三角形；

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。                

【教学重点】

三角形面积公式、正弦定理的推理过程，及简单应用

【教学难点】

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数

引入：

在现代过程中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成。不过，在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样简洁获得两点间距离的吗？

如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了与的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？

为了方便起见，将3个内角所对的边分别记为，在这样的约定下，情景中的问题可以转化为：已知，如何求.

问题1：三角形的面积公式

尝试与发现：

（1）如图，已知中，，你能求出这个三角形的面积吗？

（2）一般地，在中，如何根据地值，求出这个三角形的面积？

如图所示，在中，过A作BC边上的高AD，在中，由正弦的定义可知：

因此三角形的面积为：

当C为锐角时，求三角形面积的方法在为锐角时都成立，因此；

当C为钝角时，如下图所示，仍设的BC边上的高为AD，则可知

因此仍有成立；

当C为直角时，由，可知仍成立.

一般地，若记的面积为S，则

问题2：正弦定理

由此可知： ，又因为，因此可得：

这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等.

例1.已知中，求.

解：由已知得：.

由正弦定理可知：，所以

注：在一个三角形中，如果已知两个角与一个边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可以求出该三角形其他的两条边.因此，确定了一个三角形的两个角和一个边之后，这个三角形就唯一确定了，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.

习惯上，我们把三角形得3个角和3个边都称为三角形的运算，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.

例2.已知中，，求解这个三角形.

解：因为，所以

由于，所以或.

当时，

此时为直角三角形，c为斜边，从而有：

；

当时，

此时为等腰三角形，从而由等角对等边有：

.

注：根据例2的解答，下图中（1），（2）都满足条件，事实上，这与我们初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一样.

例3.已知中，，求及三角形面积.

解：由得：

由于，所以或.

当时，

而

所以三角形得面积为：

当时，，不合题意，舍去.

注：例3中不可能成立，也可从以及大边对大角看出.

例4.判断满足条件的是否存在，并说明理由.

解：假设满足条件的三角形存在，则由可知

又因为，所以这是不可能的，因此不存咋这样的三角形.

问题3：利用正弦定理和三角形内角和定理，解决三角形

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如。

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．

    一解                两解                  一解                一解  

例5. 根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．

（1），，，求；

（2），，，求；

（3），，，求；

（4），，，求；

（5），，，求．

解（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．

（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．

（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．

（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．

（5）由于为锐角，又，即，∴无解．

【巩固练习】

练习1：“已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.

解　∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，

由正弦定理b＝＝＝40sin(45°＋60°)＝10(＋)，

c＝＝＝20，

∴B＝105°，b＝10(＋)，c＝20.

【解题方法】当已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：(1)利用三角形内角和定理求出第三个角；(2)利用正弦定理求出另外两边．

练习2：在△ABC中，根据下列条件，解三角形．

(1)A＝60°，c＝，a＝；

(2)a＝，b＝，B＝45°.

解　(1)由正弦定理得＝，

∴sin C＝＝＝.

又c＝，a＝，∵c<a，

∴C<A，故在△ABC中，C＝30°，

∴B＝180°－(A＋C)＝90°.

由正弦定理得＝，

∴b＝＝＝2.

∴C＝30°，B＝90°，b＝2.

(2)由正弦定理，

得sin A＝＝＝.∵0°＜A＜180°，

∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝75°，

∴c＝＝＝；

当A＝120°时，C＝15°，

∴c＝＝＝.

∴A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.

[变式]　(1)改为“A＝30°，c＝，a＝”，结果又怎样？

解　由正弦定理＝，

∴sin C＝＝＝，

又c＝，a＝，∴c>a，∴C>A，

又C为△ABC的内角，

∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，B＝180°－A－C＝90°，

∴b＝ ＝2；

当C＝120°时，B＝180°－A－C＝30°，

此时△ABC为等腰三角形，则b＝a＝.

综上可知，C＝60°，B＝90°，b＝2，

或C＝120°，B＝30°，b＝.

【解题方法】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．

练习3：在△ABC中，a＝，b＝2，A＝30°，求B，C及c.

解　由＝得，sin B＝＝＝.

∵a＜b，∴B＞A＝30°.

∴B＝45°或B＝135°.

当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，

∵＝，

∴c＝＝＝＝＋1.

当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°，

∴c＝＝＝＝－1.

综上可知，B＝45°，C＝105°，c＝＋1或B＝135°，

C＝15°，c＝－1.

练习4：在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，求△ABC的面积．

解　由＝，得sin B＝sin A，

∴sin B＝×sin 30°＝.

又8×sin 30°＜8＜8，即bsin A＜a＜b，

∴三角形的解有两种情况．

∵sin B＝，

∴B＝60°或B＝120°，

∴C＝90°或C＝30°.

∴S△ABC＝ab×sin C＝×8×8×sin 90°＝32，

或S△ABC＝×8×8×sin 30°＝16.

∴△ABC的面积为32或16.

【解题方法】三角形的面积问题的处理思路

1．若所给条件为边角关系，则运用正弦定理＝＝求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式求解．

2．若所求面积的图形为不规则图形，可通过做辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．

3．解决有关面积问题时，有时涉及同角三角函数基本关系式、三角恒等变换等．

小结：

1. 利用三角形的面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A计算面积时，先利用正弦定理求出两边及其夹角．

2.正弦定理是解三角形的重要工具，它指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，描述了三角形中边与角的一种数量关系，可解决两类解三角形问题：

(1)已知两角和任一边，求另两边和另一角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角．