数学必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试学案及答案

11.5 综合复习习题课（2）

【学习重点】

空间中线线、线面、面面平行关系的相互转化和综合应用、线线、线面、面面垂直关系的相互转化和综合应用

【学习难点】

空间问题和平面问题的转化

考点1：截面、共点、共线、共面问题

例1.如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且.

（1）求证：四点共面；

（2）设与交于点，求证：三点共线.

【变式练习】

如图所示的几何体中，，，，且，，，.求证:直线，，相交于同一点.

例2．如图，在正方体中，是的中点，画出过点，的平面与平面的交线，并说明理由.

【变式练习】

在棱长为4的正方体中，点分别为的中点，则过三点的平面与正方体各个面的交线组成的平面多边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【解题方法】

1.平面的基本性质的应用

公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据.

2.证明点共线问题的常用方法

（1）公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；

（2）同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

3.证明线共点问题的方法,先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.

4.证明点、直线共面问题的常用方法

（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；

（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.

考点2：空间中的位置关系

例3. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）

A．若，与所成的角相等，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【变式练习】

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

考点3：空间中的平行关系

例4.如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.

例5. 如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

例6. 如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.

【解题方法】

1．线线、线面、面面平行间的转化

其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．

2．直线与平面平行的主要判定方法

(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质．

3．平面与平面平行的主要判定方法

(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

考点4：空间中的垂直关系

例7.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

例8.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

例9. 如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

【解题方法】

1．证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇔a⊥α；

(2)判定定理1：⇒l⊥α；

(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

2．证明线线垂直的方法

(1)定义：两条直线所成的角为90°；

(2)平面几何中证明线线垂直的方法；

(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

3．证明面面垂直的方法

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

4．转化思想：垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．

考点5：空间角的计算

例10.如图，二面角的大小是60°，线段.，

与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是        .

例11. 已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为(    )

A． B．

C． D．

例12.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S-AB-C的平面角为，则（    ）

A． B． C． D．

【解题方法】

1.求异面直线所成的角的一般步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.

(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.

2. 求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.

3. 方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.

方法二(垂线法):过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.

如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.

方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.

如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.