高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理第1课时教案

课程目标

学科素养

A. 学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理，简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解三角形的两类问题；

B. 引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识、观察能力与逻辑思维能力，将几何问题转化为代数问题；

C.培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。

1.数学抽象：正弦定理；

2.逻辑推理：正弦定理的推导；

3.数学运算：正弦定理的应用；

4.直观想象：几何问题代数化，数形结合思想；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、创设问题情境

我们在初中学习过解直角三角形的有关知识，在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程就是解直角三角形，那么对于一般的三角形，我们有什么样的方法来解三角形呢？

    在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪，激光测距仪等工具直接完成，不过在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？

  如图9-1-1所示，若想知道和对岸的一个点A与岸边一点B之间的距离，而且已测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，

求出AB的长吗？

二、问题探究

（1）如图9-1-2所示，已知∆ABC中a=5，b=3，C=π/3，你能求出这个三角形的面积吗？

（2）一般的在∆ABC中，如何根据a,b与C的值,求出这个三角形的面积？

     如图所示，在∆ABC中过点A作BC上的高AD，在Rt∆ADC中有正弦的定义可知:AD=bsinC，因此所求三角形的面积为S= 1/2absinC

      可以看出，上述求三角形面积的方法在C为锐角时都成立，而当C为钝角时，如图所示，任可以看出，上述求三角形面积的方法在c为锐角时都成立，而当c为钝角时，如图9-1-3所示，仍设∆ABC中BC上的高AD可得：

因此仍有S=1/2 absinC" ；当C为直角时，由sin900=1可知上述面积公式仍成立。

即： S=1/2 absinC ＝ 1/2 acsinB＝ 1/2 bcsinA；

一般地ABC的面积为S，则

由此可知

正弦定理（law of sines）

在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.

是否可以用其他的方法证明正弦定理?

试一试

1．在△ABC中，一定成立的等式是(　　)

A．acos A＝bcos B；              B．asin B＝bsin A；

C．acos B＝bcos A．              D．asin A＝bsin B.

B　[选项B可化为asin A＝bsin B，由正弦定理可知选项B正确．]

2．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin A＝13.则sin B＝(　　)

A．15　　　　　　　B．59         C.53               D．1

B　[由正弦定理asin A＝bsin B可得，sin B＝bsin Aa＝5×133＝59，故选B.]

3．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的大小为______________．

45°　[由正弦定理知sin Asin A＝cos Bsin B，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.] 

三、典例解析

【例1】　在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．

[解]　根据三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.

根据正弦定理，得b＝asin Bsin A＝18sin 60°sin 45°＝96.

解三角形

(1)一般地，我们把三角形的3个角与 3条边都称为三角形的元素．

(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．

思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？

[提示]　需要两角和一边或两边和其中一边的对角．

【例2】　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b；

解：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.

由asin A＝csin C得a＝csin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝102.

∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)

＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，

∴b＝csin Bsin C＝20×2＋64＝52＋56.

已知三角形的两角和任一边解三角形的方法

1．若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．

2．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．

【例3】　在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：

(1)a＝1，b＝3，A＝30°；

(2)a＝3，b＝1，B＝120°.

[解]　(1)根据正弦定理，sin B＝bsin Aa＝3sin 30°1＝32.

∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.

当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，

∴c＝bsin Csin B＝3sin 60°＝2；

当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A，∴c＝a＝1.

(2)根据正弦定理，sin A＝asin Bb＝3sin 120°1＝32>1.

因为sin A≤1.所以A不存在，即无解．

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．

1．首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．

2．如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．

3．如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．

通过复习初中所学解直角三角形知识，提出问题，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生类比、归纳推理的能力。

由现实问题中的测量问题，引入一般的解三角形问题，提高学生的概括能力。

通过问题分析，从特殊问题入手，引导学生应用三角形的面积公式，推导正弦定理，提高学生的抽象概括能力。

通过问题思考，进一步熟悉正弦定理的内容，提高学生分析问题能力。

通过例题进一步熟悉运用正弦定理解决解三角形能力，提高学生的利用所学知识解决问题的能力。

及时归纳总结，明确正弦定理的适用范围，提高学生分析解决问题的能力。

三、达标检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦定理不适用于钝角三角形．(　　)

(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立．(　　)

(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则三角形是等腰三角形．               (　　)

【答案】D　

【解析】 (1)×.正弦定理适用于任意三角形．

(2)√.由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B.

(3)√.由正弦定理可知＝，即a＝b，所以三角形为等腰三角形．

2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝30°，b＝2，则的值是(　　)

A．2　　　　　B．3         C．4          D．6

【答案】 (1)×　(2)√　(3)√

【解析】由正弦定理可得＝＝＝4.

3．已知△ABC，根据下列条件，解三角形：

(1)a＝2，c＝，C＝；

(2)a＝2，c＝，A＝.

【解析】 (1)∵＝，∴sin A＝＝.

∵c>a，∴C>A．∴A＝.

∴B＝，b＝＝＝＋1.

(2)∵＝，

∴sin C＝＝.

又∵a<c，∴C＝或.

当C＝时，B＝，b＝＝＋1.

当C＝时，B＝，b＝＝－1.]

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，感悟其中蕴含的方程思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1、2、正弦定理的主要应用：

（1）已知三角形的两角及一边，解三角形；

（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形；

3、转化划归思想、分类讨论的思想、方程思想等及其证明的思想方法.

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。