人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积学案

11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 

1.了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式．

2.能够运用柱体、锥体、台体、球的体积公式求简单几何体的体积．

3.台体的体积及简单几何体的体积计算．

重点：了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式，并能够运用体积公式求简单几何体的体积；

难点：台体的体积及简单几何体的体积计算

1．祖暅原理

(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．

(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．

2．柱体、锥体、台体和球的体积公式

其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．

试一试

1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4cm、5cm，则长方体的体积为    (　　)

A．27 cm3　　　　　 B．60 cm3

C．64 cm3 D．125 cm3

2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为(　　)

A．15π B．30

C．12π D．36π

3．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)

A．48 B．64

C．16 D．96

4．若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3.

一、    情境与问题

在小学时我们就已经学过，一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高。下面我们探讨其他几何体体积的求法。

 同一摞书挡改变摆放书的形式时，这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？

1：祖暅原理

祖暅简介

祖暅,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”即是面积。

祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论。

1．祖暅原理：幂势既同，则积不容异.

2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个

平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的

体积一定相等．

1．夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱，如果它们的底面积相等，那么这两个几何体

的体积是否相等？

2．若三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的高相等，且△ABC的面积与底面圆O的面积相等，

那么它们的体积是否相等？

2：柱体的体积

探究：如图，下面是底面积都等于S，，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？

(1)结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等.

(2)体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh.

3：锥体的体积

探究：棱锥和圆锥的体积如何计算？

如图所示，当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，

即

而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离纸币，

因此截面与底面的面积之比：

(1)结论：等底面积、等高的两个锥体，体积相等.

(2)体积：如果锥体的底面积为S，高为h，则椎体的体积计算公式为V椎体＝Sh.

     如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的,3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？

例1.如图所示，长方体中，求棱锥的体积和长方体的体积之比.

4：台体的体积

探究：棱台、圆台的体积如何求解？

例2.已知四棱台上下底面面积分别为，而且高为，求这个棱台的体积。

台体(棱台与圆台)的体积：如果台体的上、下底面面积分别为S1、S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝(S2＋＋S1)h.

1.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则棱台的体积为________.

思考：柱体、锥体、球体的体积有什么关系？

5：球的体积

（1）你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？

（2）如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，由此你能得到球的体积公式吗？

如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝

1．若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　)

A．2倍　 B．4倍　

C．8倍　 D．16倍

6：组合体

1．概念：由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体．常见的组合体大多是由 柱、锥、台、球等几何体组成的．

2．求组合体的体积(或表面积)时，只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积)，然后再处理即可．

例5.如图所示，某铁质零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高位2cm，现有这种零件一盒共50kg,取铁的密度位

（1）估计有多少个这样的零件？

（2）如果要给这盒两件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料

（球和棱柱接口处面积不计，结果精确到1）？

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等． (　　)

(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． (　　)

(3)由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． (　　)

2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为(　　)

A．2　　　　　 B．

C. D．

3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)

A．π　　　B．2π　　　C．4π　　　D．8π

4．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.

5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．

6.如图所给图形及数据(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明

(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．

(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．

(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．

参考答案：

知识梳理

试一试

1．B　[长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)．]

2．C　[圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π.]

3．B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体积为a3＝64.]

4． 288π　[由题意，知球的半径R＝6 cm，故其体积V＝πR3＝×π×63＝288π(cm3)．]

学习过程

1． 解答：被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个几何体的体积不相等．

2． 解答：根据祖暅原理，知三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的体积相等．

例1解：已知的长方体可以看成直棱柱，

设它的底面面积为S，高为h,则长方体的体积为：

因为棱锥可以看成棱锥，

且的面积为，棱锥的高为h,

所以

因此所求体积比为.

例2. 解：如图所示，讲四棱台看成从棱锥中截去所得到的，

且设两个棱锥的高分别为与

由已知有：

再由，因此可得： 

从而可知棱台的体积为：

1.答案：28　V＝(4＋16＋8)×3＝28.

思考：

5：球的体积

解答：如图，左图的截面为半径为的圆，右图的截面分别为半径为的两个同心圆环

由于右图的圆环面积为

即左右两图的截面面积始终相等，有祖暅原理，左右两个立体图形的体积相等

即：

如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝

1． 答案：C　设球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当球的半径扩大到原来的2倍后，

其体积变为原来的23＝8倍．

例5. 解：（1）每个零件的体积为：

因此每个零件的质量为：

因此可估计出零件的个数为：.

（2）每个零件的表面积为：

因此零件的表面积之和约为：

即需要能涂33389的材料

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1．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．C　[设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.]

3．B　[设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.又∵S侧＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π×2＝2π.]

4．　[由已知得4π＝πr2×4，解得r＝.]

5． [解]　如图所示，正三棱锥S­ABC.

设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．

连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.

∵△ABC是边长为6的正三角形，

∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.

在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.

在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，

∴SH＝＝＝.

∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.

6.

解　由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和半个球面．

S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.

故所求几何体的表面积为68π cm2，由

V圆台＝×(π×22＋＋π×52)×4＝52π(cm3)，

V半球＝π×23×＝π (cm3)，

所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π (cm3)．