必修 第四册11.1.3 多面体与棱柱学案

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11.1.3  多面体与棱柱  1.了解多面体的定义及其分类．(重点)2.理解棱柱的定义和结构特征．(重点)3.在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点)重点：了解多面体的定义及其分类,理解棱柱的定义和结构特征．难点： 在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．1．多面体(1)定义：由若干个             所围成的封闭几何体称为多面体．(2)相关概念(如图所示)平面多边形 ①多面体的面、棱与顶点围成多面体的            称为多面体的面，相邻两个面的________称为多面体的棱，棱与棱的       称为多面体的顶点．②多面体的面对角线与体对角线一个多面体中，连接        上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接         面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线．不在同一；各个多边形；公共边；公共点；同一面③多面体的截面与表面积一个几何体和一个平面相交所得到的        (包含它的    )，称为这个几何体的一个截面，如上图中多面体的一个截面ACE.多面体所有面的          称为多面体的表面积(或全面积)．面积之和；平面图形；内部(3)凸多面体把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面________________________，则称这样的多面体为凸多面体．都在这个；平面的同一侧思考1：长方体、正方体是多面体吗？[提示]　是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．思考2：最简单的多面体由几个面所围成？[提示]　四个．2．棱柱(1)定义有两个面          ，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是             ，这样的多面体称为棱柱．平行四边形；互相平行(2)图示及相关概念棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的     (底面水平放置时，分别称为       、       )，其他各面称为棱柱的     ，两个侧面的公共边称为棱柱的        ．底面；上底面；下底面；侧面；侧棱(3)棱柱的表示方法棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AC′.(4)棱柱的高与侧面过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的     所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积．垂线 (5)棱柱的分类特别地，底面是正多边形的棱柱称为       ．(6)平行六面体与直平行六面体底面是          的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面    的平行六面体称为直平行六面体．垂直；正棱柱；平行四边形试一试1．一个多面体的面至少为(　　)A．3个　　　　　B．4个  C．5个          D．6个2．下列几何体中是棱柱的个数有(　　)A．5个　　　B．4个　　　C．3个　　　D．2个3．下面没有体对角线的一种几何体是(　　)A．三棱柱　　　B．四棱柱   C．五棱柱   D．六棱柱4．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．一、    情境与问题1：多面体生活中的很多物体都可以抽象成多面体，如图所示，观察多面体的结构，总结出一个几何体是多面体的充要条件。(2)相关概念：面：围成多面体的各个多边形；棱：相邻两个面的公共边；顶点：棱与棱的公共点；面对角线：连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线，如图是一条面对角线。体对角线：连接不在同一面上两个顶点的线段，如图是一条面对角线。截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，如图就是多面体的一个截面.                        多面体的定义和相关概念(1)定义：由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.多面体的分类(1)把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体.(2)多面体可以按照围成它的面的个数来命名，如四面体，五面体，六面体等.多面体的表面积多面体的表面积(或全面积)：多面体所有面的面积之和.例1.如图所示的多面体，其各个面的边长为2的等边三角形（1）写出AB所在直线与所在平面的位置关系，并用符号表示；（2）求这个多面体的表面积.注：以后将不再区分一个多面体的棱和这条棱所在的直线，也不再区分多面体的一个面和这个面所在的平面，在此前提下，例1的（1）可简单说成“AB与面EBC的关系”。探究：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体。已知正多面体点数V、面数F、棱数E之间满足关系                                         V+F-E=2根据这一结论探究共有多少种不同的正多面体？2：棱柱如图是一些棱柱。观察棱柱的结构，总结出一个几何体是棱柱的充要条件。(2)相关概念：①棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱棱柱可以用底面上的顶点来表示，例如，图11-1-24（1）所示的棱柱可表示为棱柱，图11-2-24（2）所示的棱柱可表示为棱柱.②过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高.棱柱的所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积.棱柱的定义及相关概念(1)定义：有两个面相互平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱.棱柱的分类①按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱.②按侧棱与底面的位置关系分为：直棱柱和斜棱柱，其中侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱)，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.图中的（1）为斜棱柱、（2）（3）为直棱柱、且（3）为正棱柱。几类特殊的四棱柱平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体；长方体：底面是矩形的直平行六面体；正方体：棱长都相等的长方体.如图，除（1）外，其他的都是平行六面体，且（3）（4）（5）都是直平行六面体，（4）为长方体，（5）为正方体.  例2.如图所示的长方体中，已知，求长方体的体对角线的长. 1.若长方体的相邻三个面的面积分别为，，，求长方体的体对角线的长.例3.如图是棱长都为1的直平行六面体，且 （1）写出直线与直线，直线与面，面与面之间的位置关系；（2）求这个直平行六面体的表面积；（3）求线段的长.2．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．(　　)(2)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形． (　　)(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和． (　　)(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．(　　)2．下列说法中正确的是(　　)A．直四棱柱是直平行六面体B．直平行六面体是长方体C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱3．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　)A．2          B．4       C．6           D．84．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________．5．如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．1.通过了解多面体，认识棱柱的结构特征.2.各种棱柱之间的关系(1)棱柱的分类棱柱(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系 参考答案：知识梳理试一试1． B　[由多面体的特征知，一个多面体至少有4个面，它是三棱锥．]2． D　[由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.]3． A　[三棱柱只有面对角线，没有体对角线．]4． 5　6　9　[面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．]学习过程例1.解：（1）不难看出，AB所在直线与所在平面有且仅有一个公共点，即面.(2)一个边长为2的等边三角形，其高为，面积为，又因为给定多面体是一个八面体，因此表面积为。根据这一结论探究共有多少种不同的正多面体？解答：例2.解：连接，因为是长方体，所以 在中，可知： 在中，可知 1.解　设从长方体的一个顶点出发的三条棱的长分别为x，y，z(0＜x≤y≤z).则解得∴对角线l＝＝.例3.解：（1）直线与直线异面，直线面，面面  （2）底面是如图所示的菱形，由已知可得： （2）底面是如图所示的菱形，由已知可得： 因此该底面的面积为。又因为每个侧面的面积为1，所以表面积为。（3）因为是直平行六面体，所以面，所以 在中，由 2．72　[棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]达标检测1． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2． C　[直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．]3．D　[由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.∴S侧＝1×2×4＝8.]4． O　[由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E、S、P、D，故H的反面的字母为O.]5．[解]　截面以上的几何体是三棱柱AEF­A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC­B1HGC1.