高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直第1课时教案设计

11.4.2 平面与平面垂直（1）

本节课的主要内容有两个：（1）二面角和二面角的平面角的概念；（2）平面与平面垂直的判定。由于平面与平面垂直的概念是建立在二面角的基础知识，且二面角的平面角不但定量的描述了两相交平面的相对位置，同时也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点，所以搞好二面角的学习，对学生掌握线面垂直、面面垂直的知识，乃至空间思维能力的培养都具有十分重要的意义。

目前学生已经学习了空间线面、面面平行和线面的垂直关系，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系比较了解，本课时通过直观感知，操作确认，归纳出平面与平面垂直的判定定理，能运用平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。在定理的运用过程中培养学生的思维能力，论证能力，并通过引导学生对定理及例题图形的认识，加深学生对定理的理解，达到培养学生空间想象能力的目的。

【教学重点】

二面角的定义，求解，面面垂直的定义、判定定理

【教学难点】

空间问题与平面问题的转化

问题1：二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.

(2)图形表示：

(3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α－AB－β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作C－AB－D.

(4)二面角的平面角：在二面角α－AB－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．

如图，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

(5)二面角的平面角的取值范围：0°≤θ≤180°.平面角是直角的二面角称为直二面角．

(6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小．范围为0°＜θ≤90°.

【对点快练】

判断正误.

(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角. (        )

(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. (        )

(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. (        )

(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. (        )

答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

例1.如图所示，在正方体中，求二面角的大小。

解：连接和，由已知有

面

所以

因此即为二面角的平面角

由于是等腰直角三角形，因此，所以二面角的大小为.

【变式练习1】

四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求：

(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;

(2) 二面角B-PA-D的平面角的度数;

(3)二面角B-PA-C的平面角的度数;

(4)二面角B-PC-D的平面角的度数.

解:(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.

因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.

又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.

又CD⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.

所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.

(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.

所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.

又由题意知∠BAD=90°,

所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.

(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.

所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.

又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.

所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.

(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.

由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,

从而△PBE≌△PDE.

所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.

所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.

又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.

又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.

设AB=a,则PA=AB=BC=a,

所以PB=a,PC=a,

所以BE=,BD=a.

所以sin∠BEO=.

所以∠BEO=60°.所以∠BED=120°.

所以二面角B-PC-D的平面角的度数为120°.

【解题方法】

方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.

方法二(垂线法):过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.

如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.

方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.

如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

【变式练习2】

已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A∉α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.

解:如图所示,在平面α内,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,连接AD.

设OC=a,

∵AO⊥α,BC⊂α,

∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD.

∵ AD⊂平面AOD,

∴AD⊥BC,∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.

由AO⊥α,OB⊂α,OC⊂α知AO⊥OB,AO⊥OC.

又∠ABO=30°,∠ACO=45°,

问题2：平面与平面垂直

1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.

2．画法

3．判定定理

(1)文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

(2)图形表示：

(3)符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β.

(4)作用：证明平面与平面垂直.

证明：当时，与一定相交，如图所示，设

过O在平面内作与垂直的直线，则有，从而可知与所成角的大小为

因此

注：由面面垂直的判定定理，容易证明直棱柱的每个侧面都与底面互相垂直，理由是直棱柱的侧棱垂直于底面。

【对点快练】

1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．

答案：1个或无数个　

设平面外一点为A，平面内一点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.

2．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．

答案：3　平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．

例2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.

(1)求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1；

(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.

[分析]　欲证两个平面垂直，只需证出一个平面中含有另一个平面的垂线，或证明两平面的二面角的平面角为90°.

证明　(1)∵ABC－A1B1C1为正三棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，

∴AD⊥BB1，又D为BC的中点，

∴AD⊥BC，又BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1.

∴AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADA1，

∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

(2)∵ABC－A1B1C1为正三棱柱，

∴AA1⊥平面ABC，又DE⊂平面ABC，

∴AA1⊥DE，∵DE⊥A1E，

又A1E∩AA1＝A1，

∴DE⊥平面ACC1A1，

又DE⊂平面A1DE，∴平面A1DE⊥平面ACC1A1.

【解题方法】

面面垂直的方法

(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;

(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;

(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.

【变式练习1】　若本例改为：在正三棱柱ABC－A1B1C1中，F为A1C1的中点，求证：平面AB1F⊥平面ACC1A1.

证明　∵三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，

∴AA1⊥平面A1B1C1，

又FB1⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥FB1，

又△A1B1C1为等边三角形，F为A1C1的中点，

∴B1F⊥A1C1，

又A1C1∩AA1＝A1，∴B1F⊥平面ACC1A1，

又B1F⊂平面AB1F，∴平面AB1F⊥平面ACC1A1.

【变式练习2】

如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.

证明:方法一:(利用定义证明)

∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,

∴△ASB和△ASC是等边三角形,

令SA=SB=SC=AB=AC=a,

则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.

取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,

则AD⊥BC,SD⊥BC,∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.

在Rt△BSC中,∵SB=SC=a,

∴SD=,BD=.

在Rt△ABD中,AD=,

在△ADS中,∵SD2+AD2=SA2,

∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.

方法二:(利用判定定理)

∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,

∴SA=AB=AC,

∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.

∵△SBC为直角三角形,

∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,

∴AD⊥平面SBC.

又∵AD⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.

小结：

1．求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直、图形的对称性、与棱垂直的面等．

2．面面垂直的判定方法

(1)定义法：求得二面角的平面角是直角．

(2)判定一个平面是否经过另一个平面的一条垂线．

(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．