2020-2021学年第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理第2课时导学案

9.1.1正弦定理（2）

【学习重点】

正弦定理的推论和变形的推导、应用

【学习难点】

正弦定理的推论和变形在解三角形和实际问题中的应用

问题1：正弦定理的外接圆证法

正弦定理的推论：

设R是△ABC外接圆的半径，则＝＝＝            

例1. 在△ABC中，a＝5，B＝135°，C＝15°，则此三角形的最大边长为________，外接圆半径为________.

问题2：正弦定理的变形及其应用

正弦定理的变形(R是△ABC外接圆的半径)：

(1)a＝          ，b＝          ，c＝           ；

(2)sin A＝        ，sin B＝        ，sin C＝             ；

(3)a∶b∶c＝                    

例2. △ABC中，，求证△ABC为直角三角形

【解题方法】

1．判断三角形形状时，应围绕三角形的边角关系，利用正弦定理进行边角互化，要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角，通过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑．

2．在解题中，若出现关于边的齐次式(方程)，或关于角的正弦的齐次式(方程)可通过正弦定理，进行边角互化．

【变式练习】

1.在△ABC中，若试判断△ABC的形状.

2.在△ABC中，设，求的值。

3.在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状.

例3. 在锐角三角形ABC中，A=2B，、、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。

【解题方法】

利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用，将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的约束关系．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝.(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识内角的约束关系，利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．

变式练习：

1.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,  A+C=2B,则sinC=     

2. 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，则______.

3. 已知在锐角中，角，，C所对边的长分别为a，b，c，.

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围.

例4.在中，是的平分线，用正弦定理证明：．

【解题方法】利用正弦定理研究三角形或者四边形中的边角问题时，应该先确定需要研究的边或者角，在哪个三角形中研究，再利用正弦定理，转化边角关系，得到等量关系求解.

变式练习：

如图，在平面四边形中，已知，．

设，，若，，求面积的最大值．