人教B版 (2019)必修 第四册11.1.3 多面体与棱柱教学设计

课程目标

学科素养

A..了解多面体的定义及其分类．

B.理解棱柱的定义和结构特征．

C.在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．

1.数学抽象：多面体与棱柱的概念；

2.逻辑推理：概念的运用；

3.数学建模：多面体与棱柱模型的建立；

4.直观想象：多面体与棱柱的判定；

5数学运算：求多面体的表面积

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境与问题

1：多面体

生活中的很多物体都可以抽象成多面体，如图所示，观察多面体的结构，总结出一个几何体是多面体的充要条件。

(2)相关概念：

面：围成多面体的各个多边形；

棱：相邻两个面的公共边；

顶点：棱与棱的公共点；

面对角线：连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，

就称其为多面体的面对角线，如图是一条面对角线。

体对角线：连接不在同一面上两个顶点的线段，

如图是一条面对角线。

截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，

如图就是多面体的一个截面.

                        多面体的定义和相关概念

(1)定义：由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.

多面体的分类

(1)把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，

则称这样的多面体为凸多面体.

(2)多面体可以按照围成它的面的个数来命名，

如四面体，五面体，六面体等.

多面体的表面积

多面体的表面积(或全面积)：多面体所有面的面积之和.

例1.如图所示的多面体，其各个面的边长为2的等边三角形

（1）写出AB所在直线与所在平面的位置关系，并用符号表示；

（2）求这个多面体的表面积.

解：（1）不难看出，AB所在直线与所在平面有且仅有一个公共点，

即面.

(2)一个边长为2的等边三角形，其高为，面积为，又因为给定多面体

是一个八面体，因此表面积为。

注：以后将不再区分一个多面体的棱和这条棱所在的直线，也不再区分多面体的一个面和

这个面所在的平面，在此前提下，例1的（1）可简单说成“AB与面EBC的关系”。

探究：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体。已知正多面体点数V、面数F、棱数E之间满足关系

                                         V+F-E=2

根据这一结论探究共有多少种不同的正多面体？

解答：

2：棱柱

如图是一些棱柱。观察棱柱的结构，总结出一个几何体是棱柱的充要条件。

(2)相关概念：

①棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，

其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱

棱柱可以用底面上的顶点来表示，

例如，图11-1-24（1）所示的棱柱可表示为棱柱，图11-2-24（2）所示的棱柱可表示为棱柱.

②过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高.

棱柱的所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积.

棱柱的定义及相关概念

(1)定义：有两个面相互平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱.

棱柱的分类

①按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱.

②按侧棱与底面的位置关系分为：直棱柱和斜棱柱，

其中侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱)，

底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.

图中的（1）为斜棱柱、（2）（3）为直棱柱、且（3）为正棱柱。

几类特殊的四棱柱

平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体；

长方体：底面是矩形的直平行六面体；

正方体：棱长都相等的长方体.

如图，除（1）外，其他的都是平行六面体，且（3）（4）（5）都是直平行六面体，

（4）为长方体，（5）为正方体.

例2.如图所示的长方体中，已知，

求长方体的体对角线的长.

解：连接，因为是长方体，所以

在中，可知：

在中，可知

1.若长方体的相邻三个面的面积分别为，，，求长方体的体对角线的长.

解　设从长方体的一个顶点出发的三条棱的长分别为x，y，z(0＜x≤y≤z).

则解得

∴对角线l＝＝.

例3.如图是棱长都为1的直平行六面体，且

（1）写出直线与直线，直线与面，面与面之间的位置关系；

（2）求这个直平行六面体的表面积；

（3）求线段的长.

解：（1）直线与直线异面，直线面，

面面

（2）底面是如图所示的菱形，由已知可得：

（2）底面是如图所示的菱形，

由已知可得：

因此该底面的面积为。

又因为每个侧面的面积为1，所以表面积为。

（3）因为是直平行六面体，所以面，所以

在中，由

2．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.

72　[柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]

通过对生活中实物的观察，引导学生观察、分析、抽象概括出多面体的概念。发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。

通过观察、练习掌握多面体的概念及相关性质，让学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

通过观察与分析，获得棱柱的相关概念，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

通过观察分类、认识几类常见的棱柱模型。提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．(　　)

(2)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形． (　　)

(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和． (　　)

(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．(　　)

 [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．下列说法中正确的是(　　)

A．直四棱柱是直平行六面体

B．直平行六面体是长方体

C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体

D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱

C　[直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．]

3．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　)

A．2          B．4       C．6           D．8

D　[由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.∴S侧＝1×2×4＝8.]

4．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________．

O　[由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E、S、P、D，故H的反面的字母为O.]

5．如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．

[解]　截面以上的几何体是三棱柱AEF­A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC­B1HGC1.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，感悟其中蕴含的方程思想，增强学生的数学运算的核心素养。

四、小结

1.通过了解多面体，认识棱柱的结构特征.

2.各种棱柱之间的关系

(1)棱柱的分类

棱柱

(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。