高中数学11.1.2 构成空间几何体的基本元素教学设计

11.1.2 构成空间几何体的基本元素

本节课是立体几何初步的第二课时，对于帮助学生认识空间几何体，培养空间想象能力起着至关重要的作用。线、面、体的生成过程是从一维到二维再到三维的渐变过程，它是从感性认知到理性认识的一个提升，认识不同的几何体，了解几何体的特征性质，并且能正确的描述几何体的性质，形象地画出图形是学习立体几何的必备技能。因此，这节课在整个立体几何中起着引领的作用，这节课的内容将为培养学生的观察能力，提高学生空间想象能力奠定了基础.

学生在初中已经接触过几何体、对几何体有着感性的认识，随着学生认知水平的提高，需要从更高层面观察几何体，研究几何体.通过本节课的学习，学生需要掌握点、线、面之间的关系以及相互之间的位置关系；通过让学生探究点、线、面之间的相互关系、掌握文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化；通过用集合论的观点和运动的观点，讨论点、线、面、体之间的相互关系，培养学生从多角度、多方面观察和分析问题，体会将所学知识和现实生活建立联系的快乐，从而提高学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

点、线、面之间的相互关系，以及文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化，直线与平面垂直的含义、点面距、线面距、面面距的定义

【教学难点】

从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系.

问题1：空间中的点、线、面

知识点1：空间几何体的基本元素

长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体（几何体也简称为“体”），包围着几何体的都是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”的形象。

点、线、面是构成空间几何体的基本元素.

知识点2：点、线、面运动的轨迹

点运动的轨迹是线、线运动的轨迹是面、面运动的轨迹是体.

如图，塔的侧面可以看出一条线段运动的结果；水平放置的长方体，可以看出一个底面沿垂直方向运动的结果.

知识点3：点、线、面的表示方法

(1)点用大写英文字母表示，如点A，点B，点A1，…；

(2)直线用该直线上的两个点表示，如直线AB，直线A1B1，…，也可以用小写英文字母表示，如直线l，直线m，…；

(3)平面用该平面内不共线的3个或3个以上的点表示，如长方形ABCD所在的平面可记作面ABC，或面ABD，或面ABCD．也可用小写希腊字母α，β，γ，…表示．

例1：如图所示的长方体中，

8个顶点可表示为：

12条棱可以表示为：

6个面可以表示为：

长方体可以表示为：

【变式练习】

根据如图所示的棱柱中，回答下列问题：

(1)6个顶点可表示为____________________；

(2)9条棱可以表示为____________________；

(3)5个平面可以表示为___________________；

(4)棱柱可以表示为______________________．

答案　(1)A，B，C，A1，B1，C1　(2)AB，BC，AC，AA1，BB1，CC1，A1B1，B1C1，A1C1　(3)面ABC，面A1B1C1，面AA1B1B，面BB1C1C，面AA1C1C　(4)棱柱ABC－A1B1C1

问题2：空间中点与直线，直线与直线的位置关系

空间中的一条直线可看出这条直线上所有点组成的集合，从而也就能用集合符号来表示空间中点与直线、直线与直线的关系.

例2：如图中的长方体，

（1）直线AB可简记为l，此时，A，B都是l上的点，且都不是l上的点，这可用符号简写为：

（2）如果记图中顶点确定的直线为m,顶点确定的直线为k,则有m与l相交（即有公共点），k与l不相交（即没有公共点），这可分别表示为：

（3）因为m与l相交于点B，所以，一般简写为：.

知识点4：异面直线

一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面，上图中，直线l与k异面.

知识点5：直线与直线的位置关系

如果a,b是空间中的两条直线，则与，有且仅有一种情况成立，而且当时，a与b要么平行（记作），要么异面.
问题3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

例3：下图所示的长方体中：

（1）面ABCD可以记为，此时，A是平面内的点，不是平面内的点，这可用符号简写为：.

（2）点A，B确定的直线上的所有点都在平面内，这称为直线l在平面内（或平面过直线l）,记作：；

（3）点确定的直线m上至少有一个点不在平面内，这称为直线m在平面外，记作：.

直线m与有且只有一个公共点（称为直线,与平面相交），即,一般简写为：.

（4）记图中长方形所在的平面为，点A，D确定的直线为，则与有公共点，这称为平面与平面相交，记作：，进一步，一个点是与的公共点，当且仅当这个点在直线k上，这可记作：.

知识点6:直线与平面的位置关系

一般地，如果l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则：与有且仅有一种情况成立.

（1）当时，要么，要么l与只有一个公共点；

（2）当时，称直线l与平面平行，记作：.

知识点7：平面与平面的位置关系

如果与是空间中的两个平面，则 与有且仅有一种情况成立。

（1）当时，与的公共点组成一条直线；

（2）当时，称平面与平面平行，记作：.

例4．思考辨析

(1)直线l在平面α内，记作l∈α.(　　)

(2)若a∩b＝∅，则a与b平行．(　　)

(3)若l∩α≠∅，则直线l与平面α有公共点．(　　)

(4)若直线l在平面α外，则直线l与平面α平行．(　　)

(5)若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　 (5)×

例5.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线AB；   (2)点C与直线AB；    (3)点M与平面ABCD；

(4)点A1与平面ABCD；        (5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面ABCD；      (7)平面A1ABB1与平面ABCD．

解　(1)点P∈直线AB；        (2)点C∉直线AB；      (3)点M∈平面ABCD；

(4)点A1∉平面ABCD；          (5)直线AB∩直线BC＝点B；

(6)直线AB⊂平面ABCD；   (7)平面A1ABB1∩平面ABCD＝直线AB．

例6.给出下列四个命题：

①若直线l∩m＝∅，则l与m平行；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若m⊂α，m∩β＝M，那么平面α与平面β相交，其中真命题的个数为(　　)

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

解答：A

对于①，直线l∩m＝∅，即直线l与直线m没有公共点，l与m可能平行，也可能异面，∴l不一定与m平行．故①错．对于②，直线a在平面α外包括两种情形：a∥α，a与α相交，故②错．对于③，由直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故③错．对于④，∵m⊂α，m∩β＝M，∴点M∈α，M∈β，故平面α与平面β相交，故④正确．

例7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线、平面间的位置关系：

①A1B与D1C________；            ②A1B与B1C________；

③D1D与平面BCC1B1________；    ④AB1与平面BCC1________；

⑤平面ABB1与平面DCC1_________；     ⑥平面ABB1与平面DD1A1________.

答案　①平行　②异面　③平行　④相交　⑤平行　⑥相交

问题4.直线与平面垂直

由观察可知，图中，不管直线l的具体位置如何，只要平面ABCD，则一定有.

知识点8：直线与平面垂直的定义

一般地，如果直线l与平面相交于一点A，且对平面内任意一条过点A的直线m，都有，则称直线l与平面垂直（或l是平面的一条垂线，是直线l的一个垂面），记作），其中点A称为垂足.

因此，图中长方体中，有平面ABCD，类似的，有平面平面.

知识点9：点到平面的距离

给定空间中一个平面以及一个点A，过A可以作而且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为B，则称B为A在平面内的射影（也称为投影），线段AB为平面的垂线段，AB的长为点A到平面的距离.

知识点10.直线到平面的距离

特别的，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；

知识点11：平行平面间的距离

当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离.

因此，点到面ABCD的距离等于线段的长，直线到面ABCD的距离等于线段的长，面与面ABCD之间的距离等于的长.

例8.下列命题中正确的个数是(　　)

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0 B．1

C．2 D．3

解：B　当α内的无数条直线平行时，l与α不一定垂直，故①不对；

当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②不对；

当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．

例9.下面叙述中：

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；

②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；

③若直线l是平面α的一条垂线，则直线l垂直于平面α内的所有直线；

④若直线l垂直于平面α，则称平面α是直线l的一个垂面．

其中正确的有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解：C　①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知②③④正确．

例10.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，AA1＝3 cm，则

(1)点A到平面DCC1D1的距离为________；

(2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为________；

(3)平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为________.

解：(1)4 cm　(2)6 cm　(3)3 cm　[(1)因为AD⊥平面DCC1D1，所以点A到平面DCC1D1的距离为AD＝4 cm；

(2)因为AA1∥平面BCC1B1，所以直线AA1到平面BCC1B1的距离为点A到到平面BCC1B1的距离AB＝6 cm；

(3)因为面ABCD∥面A1B1C1D1，所以平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为点A到平面A1B1C1D1的距离A1A＝3 cm.

小结：

1．空间中的两条直线a，b的位置关系：

2．直线a与平面α的位置关系：

3．平面α与平面β的位置关系

4．直线与平面垂直：

(1)定义．

(2)点面距：若点A是平面α外一点，AB⊥α，B为垂足，则线段AB的长为点A到平面α的距离．

(3)线面距、面面距转化为点面距．