人教B版 (2019)必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法教学设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法教学设计，共10页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。

本节课是复数的乘法和除法第二课时，是在上个课时掌握复数乘法和除法的运算法则的基础上，进一步得到共轭复数的有关性质结论，探索复数的正整数指数幂和实系数一元二次方程在复数范围内的解集.复数正整数指数幂的意义是相同的复数的乘积，所以复数的乘方运算是乘法运算的推广，重点放在一些特殊的复数上，因为这些特殊形式的复数在研究复数乘方性质时是重要的。在实数范围内，实系数一元二次方程不一定有解，教学过程中采用类比推理的方法，得到复数范围内一元二次方程的解的情况，掌握实系数一元二次方程根与系数关系，并会解实系数一元二次方程和因式分解。
本节课以学生为主体，类比实数的乘法，在例题中体现了从特殊到一般的数学思想，以讲授、
问答、讨论为基本的教学方法。
【教学重点】
共轭复数的性质、复数的正整数指数幂的运算律、实系数一元二次方程的解
【教学难点】
用类比思想从实数的有关性质探讨复数的相应有关性质。
复习回顾：
1.复数的乘法法则：
2.复数的除法法则：
3.复数乘法的运算律：
（1）交换律：
（2）结合律:
（3）分配律：
问题1：共轭复数的性质
例1.计算
⑴
⑵
⑶
可得共轭复数的性质：
（1） ，特别的，当时，
（2）
（3）
变式训练：
1．复数满足：（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：由（z﹣2）•i＝z，得zi﹣2i＝z，
∴z，
∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，，，．
故选B．
2．已知复数满足，且，则（ ）
A．3B．C．D．
解：设,则,
因为,则,所以,
又,即,所以,
所以,
故选:C
3．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A．B．
C．D．
解：令，则由得，所以，故正确；当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
问题2：复数的正整数指数幂
定义：n个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或n次幂），并记作，
那么实数的正整数指数幂有以下运算性质，它们是否在复数集中仍然成立？
（1） （2） （3） （其中m、n为正整数）
复数的正整数指数幂运算律：
（1）
（2）
（3） （其中，m、n为正整数）
例2：（1）计算 ，
根据计算结果得出
= = =
解：
练习：（1）
解：
（2）=
解：当，
当，
当，
（3）计算： ，
解：
（4）设，计算：的值
解：
变式：
1．若复数满足是虚数单位），则的共轭复数( )
A．B．C．D．
解：因为，，，，，
，
得，
．
故选：．
2．已知是虚数单位，且，则（ ）
A．B．C．D．
解：∵，
∴，
∴.
故选：C.
3．设，则可取的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
解：因为，
当n取特殊值1，2，3，4可得相应的值.
，，，.
故选：C.
问题3：实系数一元二次方程的解m]
我们知道，虚数单位i是方程的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数a>0,那么方程在复数范围内的解集是什么？
因为,
所以方程在复数范围内的解集为
类似的，可以看出当a>0时，方程在复数范围内的解集为
问题：对实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c∈R，且a≠0)有哪些认识？
⊿判别式：当⊿＝b2－4ac＞0时，方程有两个不等的实数根；
当⊿＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当⊿＝b2－4ac＜0时，方程有没有实数根。
韦达定理：设方程的两个根为x1、x2，则有x1＋x2＝－，x1·x2＝
求根公式：当⊿＞0时，方程两根为x＝
思考：在复数集范围内是否仍然成立？
当⊿＜0即b2－4ac＜0时，
由ax2＋bx＋c＝0知道： (x＋)2＝＜0
∵的平方根为±
∴方程有一对共轭虚根：x＝－±（求根公式）
显然，仍然满足韦达定理：x1＋x2＝－，x1·x2＝
结论：(1)实系数一元二次方程有虚根必定成对出现；
(2)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在复数范围内总有两个解x1、x2，总可以进行因式分解：ax2＋bx＋c＝a(x－x1) (x－x2)
例3.在复数集中解方程： x2－4x＋8＝0
解：∵⊿＝16－32＝－16＜0，∴方程的解为
x1＝＝2＋2i ；x2＝＝2－2i
例4.已知时关于x的方程的根，求实数a的值.
解：由于时关于x的方程的根
变式：
已知关于x的方程的两个根是、.
（1）若为虚数且，求实数p的值；
（2）若，求实数p的值.
解：（1），，，∴；
（2），，若，即，则，∴；
若，即，则，∴；综上，或.
小结：
1.共轭复数的性质
（1） ，特别的，当时，
（2）
（3）
2.复数的正整数指数幂的运算律
（1）
（2）
（3） （其中，m、n为正整数）
3.实系数一元二次方程的解
当⊿＝b2－4ac＜0时，方程有没有实数根
方程有一对共轭虚根：x＝－±（求根公式）
仍然满足韦达定理：x1＋x2＝－，x1·x2＝
考点
教学目标
核心素养
共轭复数的性质
掌握共轭复数的相关性质
数学运算
复数的正整数次幂
掌握复数的正整数幂的运算律以及的周期性规律
数学运算
实系数一元二次方程的解
掌握实系数一元二次方程根与系数关系，并会解实系数一元二次方程和因式分解。
类比推理、数学运算